Zbiór liczb rzeczywistych składa się ze wszystkich liczb na osi liczbowej. Podzbiory mogą obejmować dowolny zbiór liczb, ale elementy ważnego podzbioru powinny mieć co najmniej kilka wspólnych cech. Większość z tych podzbiorów jest przydatna tylko do konkretnych obliczeń, ale jest kilka, które mają interesujące właściwości i pomagają zrozumieć, jak działa system liczb rzeczywistych.
TL; DR (zbyt długi; Nie czytałem)
Do najważniejszych podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych należą liczby wymierne i niewymierne. Zbiór liczb wymiernych można podzielić na dalsze podzbiory, w tym na liczby naturalne, liczby całkowite i liczby całkowite. Inne podzbiory liczb rzeczywistych to liczby parzyste i nieparzyste, liczby pierwsze i liczby doskonałe. W sumie istnieje nieskończona liczba podzbiorów liczb rzeczywistych.
Podzbiory liczb rzeczywistych w ogóle
Dla dowolnego zestawu zawierającego ilość n elementów, liczba podzbiorów wynosi 2nie. Zbiór liczb rzeczywistych ma nieskończoną liczbę elementów, a zatem odpowiedni wykładnik liczby 2 jest również nieskończony, co daje nieskończoną liczbę podzbiorów.
Wiele z tych podzbiorów może być używanych podczas pracy z systemem liczb rzeczywistych i podczas obliczeń, ale są one przydatne tylko do określonych celów. Na przykład, aby obliczyć cenę kilku pizz dla przyjaciół, interesujący może być tylko podzbiór liczb od dziesięciu do stu. Termometr zewnętrzny może pokazywać tylko podzbiór temperatur od minus 40 do plus 120 stopni Fahrenheita. Praca z takimi podzbiorami jest przydatna, ponieważ każdy wynik poza oczekiwanym podzbiorem jest prawdopodobnie błędny.
Bardziej ogólne podzbiory liczb rzeczywistych klasyfikują liczby zgodnie z ich cechami, dzięki czemu podzbiory te mają unikalne właściwości. System liczb rzeczywistych wyewoluował z podzbiorów, takich jak liczby naturalne, które są używane do liczenia, a takie podzbiory stanowią podstawę zrozumienia algebry.
Podzbiory, które składają się na liczby rzeczywiste
Zbiór liczb rzeczywistych składa się z liczb wymiernych i niewymiernych. Liczby wymierne to liczby całkowite i liczby, które można wyrazić jako ułamek. Wszystkie inne liczby rzeczywiste są niewymierne i zawierają liczby takie jak pierwiastek kwadratowy z 2 i liczba pi. Ponieważ liczby niewymierne są zdefiniowane jako podzbiór liczb rzeczywistych, wszystkie liczby niewymierne muszą być liczbami rzeczywistymi.
Liczby wymierne można podzielić na dodatkowe podzbiory. Liczby naturalne to liczby, które były historycznie używane do liczenia i są to sekwencje 1, 2, 3 itd. Liczby całkowite to liczby naturalne plus zero. Liczby całkowite to liczby całkowite plus ujemne liczby naturalne.
Inne podzbiory liczb wymiernych obejmują takie pojęcia, jak liczby parzyste, nieparzyste, pierwsze i doskonałe. Liczby parzyste są liczbami całkowitymi, które mają 2 jako czynnik; liczby nieparzyste to wszystkie pozostałe liczby całkowite. Liczby pierwsze to liczby całkowite, które mają tylko siebie i 1 jako czynniki. Liczby doskonałe to liczby całkowite, których czynniki sumują się do liczby. Najmniejsza idealna liczba to 6, a jej dzielniki 1, 2 i 3 sumują się do 6.
Ogólnie rzecz biorąc, obliczenia wykonywane na liczbach rzeczywistych dają odpowiedzi w liczbach rzeczywistych, ale jest wyjątek. Nie ma liczby rzeczywistej, która po pomnożeniu przez siebie daje jako odpowiedź ujemną liczbę rzeczywistą. W rezultacie pierwiastek kwadratowy z ujemnej liczby rzeczywistej nie może być liczbą rzeczywistą. Pierwiastki kwadratowe ujemnych liczb rzeczywistych nazywamy liczbami urojonymi i są one elementami zbioru liczb całkowicie oddzielonych od liczb rzeczywistych.
Badanie podzbiorów liczb rzeczywistych jest częścią teorii liczb i klasyfikuje liczby, aby łatwiej zrozumieć, jak działa teoria liczb. Zapoznanie się z podzbiorami liczb rzeczywistych i ich własnościami jest dobrą podstawą do dalszych badań matematycznych.