Niewiele rzeczy budzi strach u początkującego ucznia algebry, jak widzenie wykładników – wyrażeń takich jaktak2, x3 a nawet przerażającetakx– pojawiają się w równaniach. Aby rozwiązać równanie, musisz w jakiś sposób sprawić, by te wykładniki zniknęły. Ale tak naprawdę ten proces nie jest taki trudny, gdy nauczysz się szeregu prostych strategii, z których większość jest zakorzeniona w podstawowych operacjach arytmetycznych, których używasz od lat.
Uprość i połącz podobne terminy
Czasami, jeśli masz szczęście, możesz mieć wykładniki w równaniu, które wzajemnie się znoszą. Rozważmy na przykład następujące równanie:
y + 2x^2 - 5 = 2(x^2 + 2)
Przy bystrym oku i odrobinie praktyki możesz zauważyć, że wykładniki potęgowe faktycznie się znoszą, w ten sposób:
Gdy uprościsz prawą stronę przykładowego równania, zobaczysz, że masz identyczne wykładniki po obu stronach znaku równości:
y + 2x^2 - 5 = 2x^2 + 4
Odejmij 2x2 z obu stron równania. Ponieważ wykonałeś tę samą operację po obu stronach równania, nie zmieniłeś jego wartości. Ale skutecznie usunąłeś wykładnik, pozostawiając ci:
y - 5 = 4
Jeśli chcesz, możesz zakończyć rozwiązywanie równania dlatakdodając 5 do obu stron równania, co daje:
y = 9
Często problemy nie są takie proste, ale nadal jest to okazja, na którą warto zwrócić uwagę.
Poszukaj możliwości rozłożenia na czynniki
Z czasem, praktyką i wieloma lekcjami matematyki będziesz zbierać wzory na faktoryzację pewnych typów wielomianów. Przypomina to zbieranie narzędzi, które trzymasz w skrzynce z narzędziami, dopóki ich nie potrzebujesz. Sztuką jest nauczenie się identyfikowania, które wielomiany można łatwo rozłożyć na czynniki. Oto niektóre z najczęstszych formuł, których możesz użyć, wraz z przykładami ich zastosowania:
Jeśli twoje równanie zawiera dwie liczby do kwadratu ze znakiem minus między nimi – na przykładx2 − 42 – można je rozłożyć na czynniki za pomocą wzoruza2 − b2 = (a + b)(a − b). Jeśli zastosujesz wzór do przykładu, wielomianx2 − 42 czynniki do (x + 4)(x − 4).
Sztuczka polega na nauczeniu się rozpoznawania liczb do kwadratu, nawet jeśli nie są zapisane jako wykładniki. Na przykład przykładx2 − 42 jest bardziej prawdopodobne, że zostanie napisane jakox2 − 16.
Jeśli twoje równanie zawiera dwie liczby w sześcianie, które są do siebie dodawane, możesz je rozłożyć na czynniki za pomocą wzoru
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
Rozważ przykład exampletak3 + 23, który prawdopodobnie zobaczysz napisany jakotak3 + 8. Kiedy zastępujesztaki 2 we wzorze nazaibodpowiednio, masz:
(y + 2)(y^2 - 2y + 2^2)
Oczywiście wykładnik nie zniknął całkowicie, ale czasami tego typu formuła jest użytecznym, pośrednim krokiem w kierunku pozbycia się go. Na przykład takie rozłożenie na czynniki w liczniku ułamka może stworzyć warunki, które można następnie anulować za pomocą terminów z mianownika.
Jeśli twoje równanie zawiera dwie liczby w sześcianie z jednąodejmowanez drugiej strony można je rozkładać na czynniki, używając formuły bardzo podobnej do pokazanej w poprzednim przykładzie. W rzeczywistości położenie znaku minus jest jedyną różnicą między nimi, ponieważ wzór na różnicę sześcianów to:
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
Rozważ przykład examplex3 − 53, który najprawdopodobniej zostałby zapisany jakox3 − 125. Zastępowaniexdlazai 5 zab, dostajesz:
(x - 5)(x^2 + 5x + 5^2)
Tak jak poprzednio, chociaż nie eliminuje to całkowicie wykładnika, może to być przydatny krok pośredni.
Wyizoluj i zastosuj radykał
Jeśli żadna z powyższych sztuczek nie działa i masz tylko jeden wyraz zawierający wykładnik, możesz użyć najpopularniejszej metody „pozbywania się wykładnika: wyizoluj wyraz wykładnika po jednej stronie równania, a następnie zastosuj odpowiedni rodnik do obu stron równanie. Rozważ przykład example
z^3 - 25 = 2
Wyodrębnij wykładnik, dodając 25 do obu stron równania. To daje:
z^3 = 27
Indeks stosowanego pierwiastka – to znaczy mała liczba w indeksie górnym przed znakiem radykalnym – powinien być taki sam jak wykładnik, który próbujesz usunąć. Tak więc, ponieważ wykładnik w przykładzie jest sześcianem lub trzecią potęgą, aby go usunąć, należy zastosować pierwiastek sześcienny lub trzeci pierwiastek. To daje:
\sqrt[3]{z^3} = \sqrt[3]{27}
Co z kolei upraszcza:
z = 3