Najlepszy sposób rozkładania wielomianów na czynniki za pomocą ułamków zaczyna się od zredukowania ułamków do prostszych wartości. Wielomiany reprezentują wyrażenia algebraiczne z dwoma lub więcej terminami, a dokładniej sumą wielu terminów, które mają różne wyrażenia tej samej zmiennej. Strategie, które pomagają w uproszczeniu wielomianów, obejmują wydzielenie największego wspólnego czynnika, a następnie zgrupowanie równania według najniższych wartości. To samo dotyczy nawet rozwiązywania wielomianów z ułamkami.
Wielomiany ze zdefiniowanymi ułamkami
Masz trzy sposoby przeglądania wielomianów fraz z ułamkami. Pierwsza interpretacja dotyczy wielomianów z ułamkami dla współczynników. W algebrze współczynnik definiuje się jako wielkość liczbową lub stałą znalezioną przed zmienną. Innymi słowy, współczynniki dla 7_a_, b i (1/3)do wynoszą odpowiednio 7, 1 i (1/3). Dlatego dwa przykłady wielomianów ze współczynnikami ułamków to:
\frac{1}{4}x^2 + 6x + 20 \text{ i } x^2 + \frac{3}{4}x + \frac{1}{8}
Druga interpretacja „wielomianów z ułamkami” odnosi się do wielomianów występujących we ułamku lub stosunku forma z licznikiem i mianownikiem, gdzie wielomian licznika jest dzielony przez mianownik wielomian. Na przykład tę drugą interpretację ilustruje:
\frac{x^2 + 7x + 10}{x^2 + 11x + 18}
Natomiast trzecia interpretacja dotyczy częściowego rozkładu frakcji, znanego również jako częściowa ekspansja frakcji. Czasami ułamki wielomianowe są złożone, tak że gdy są „rozkładane” lub „rozkładane” na prostsze terminy, są przedstawiane jako sumy, różnice, iloczyny lub ilorazy wielomianu ułamki. Aby zilustrować, złożony ułamek wielomianu:
\frac{8x + 7}{x^2 + x - 2}
jest oceniany przez częściowy rozkład na ułamki, który, nawiasem mówiąc, obejmuje faktoryzację wielomianów, aby w najprostszej postaci:
\bigg(\frac{3}{x+2}\bigg)+\bigg(\frac{5}{x-1}\bigg)
Podstawy faktoringu – własność dystrybucyjna i metoda FOIL
Czynniki reprezentują dwie liczby, które po pomnożeniu dają trzecią liczbę. W równaniach algebraicznych faktoring określa, jakie dwie wielkości zostały pomnożone, aby uzyskać dany wielomian. Własność rozdzielności jest często stosowana podczas mnożenia wielomianów. Właściwość rozdzielności zasadniczo pozwala pomnożyć sumę przez pomnożenie każdej liczby z osobna przed dodaniem produktów. Zwróćmy uwagę na przykład na zastosowanie własności rozdzielności na przykładzie :
7(10x + 5) \text{ aby dojść do dwumianu } 70x + 35.
Ale jeśli pomnożymy dwa dwumiany, wtedy rozszerzona wersja własności rozdzielności jest wykorzystywana za pomocą metody FOIL. FOIL reprezentuje mnożony akronim od słów Pierwszy, Zewnętrzny, Wewnętrzny i Ostatni. W związku z tym faktoryzacja wielomianów pociąga za sobą wykonanie metody FOIL wstecz. Weźmy dwa wyżej wymienione przykłady z wielomianami zawierającymi współczynniki ułamkowe. Wykonanie metody FOIL wstecz na każdym z nich skutkuje współczynnikami
\bigg(\frac{1}{2}x + 2\bigg)\bigg(\frac{1}{2}x + 10\bigg)
dla pierwszego wielomianu i dzielniki
\bigg (x + \frac{1}{4}\bigg)\bigg (x + \frac{1}{2}\bigg)
dla drugiego wielomianu.
Przykład:
\frac{1}{4}x^2 + 6x + 20 = \bigg(\frac{1}{2}x + 2\bigg)\bigg(\frac{1}{2}x + 10\bigg)
Przykład:
x^2 + \frac{3}{4}x + \frac{1}{8} = \bigg (x + \frac{1}{4}\bigg)\bigg (x + \frac{1}{ 2}\duża)
Kroki, jakie należy podjąć podczas rozkładania na czynniki ułamków wielomianowych
Z góry ułamki wielomianowe obejmują wielomian w liczniku podzielony przez wielomian w mianowniku. Obliczanie ułamków wielomianowych wymaga zatem najpierw rozłożenia na czynniki wielomianu licznika, a następnie rozłożenia na czynniki wielomianu mianownika. Pomaga znaleźć największy wspólny czynnik, czyli GCF, między licznikiem a mianownikiem. Po znalezieniu GCF zarówno licznika, jak i mianownika, anuluje się, ostatecznie redukując całe równanie do uproszczonych terminów. Rozważmy oryginalny przykład ułamka wielomianowego powyżej
\frac{x^2 + 7x + 10}{x^2+ 11x + 18}
Rozkładanie na czynniki wielomianów licznika i mianownika w celu znalezienia GCF daje w wyniku:
\frac{(x + 2)(x + 5)}{(x + 2)(x + 9)}
z GCF będącym (x + 2).
GCF zarówno w liczniku, jak i mianowniku znoszą się nawzajem, aby zapewnić ostateczną odpowiedź w najniższych warunkach (x + 5) ÷ (x + 9).
Przykład:
\begin{wyrównane} \frac{x^2 + 7x + 10}{x^2+ 11x + 18} &= \frac{\cancel{(x + 2)}(x + 5)}{\cancel{( x + 2)}(x + 9)} \\ &=\frac{x + 5}{x + 9} \end{wyrównany}
Obliczanie równań za pomocą rozkładu na ułamki częściowe
Rozkład na ułamki częściowe, który obejmuje faktoryzację, to sposób na przepisanie złożonych równań ułamków wielomianowych w prostszą formę. Wracając do przykładu z góry z
\frac{8x + 7}{x^2 + x - 2}
Uprość mianownik
Uprość mianownik, aby uzyskać:
\frac{8x + 7}{x^2 + x - 2} = \frac{8x + 7}{(x + 2)(x - 1)}
Zmień kolejność licznika
Następnie zmień kolejność licznika tak, aby zaczynał mieć GCF obecne w mianowniku, aby uzyskać:
\begin{aligned} \frac{8x + 7}{(x + 2)(x - 1)} &= \frac{ 3x + 5x - 3 + 10 }{(x + 2)(x - 1)} \ \ &= \frac{3x - 3}{(x + 2)(x - 1)} + \frac{5x + 10 }{(x + 2)(x - 1)} \\ \end{wyrównane}
Dla lewego dodatku GCF to (x - 1), podczas gdy dla prawego dodatku GCF wynosi (x + 2), które anulują w liczniku i mianowniku, jak widać na:
\frac{3x - 3}{(x + 2)(x - 1)} + \frac{5x + 10 }{(x + 2)(x - 1)} = \frac{3\cancel{(x - 1)}}{(x + 2)\cancel{(x - 1)}} + \frac{5\cancel{(x + 2)}}{\cancel{(x + 2)}(x - 1) }
Tak więc, gdy GCF anulują, ostateczna uproszczona odpowiedź brzmi:
\frac{3}{x + 2} + \frac{5}{x - 1}
jako rozwiązanie częściowego rozkładu frakcji.