Algebra często wymaga uproszczenia wyrażeń, ale niektóre wyrażenia są bardziej mylące niż inne. Liczby zespolone obejmują wielkość znaną jakoja, „wyimaginowana” liczba z właściwościąja= √−1. Jeśli musisz po prostu wyrazić wyrażenie obejmujące liczbę zespoloną, może się to wydawać zniechęcające, ale po nauczeniu się podstawowych zasad jest to dość prosty proces.
TL; DR (zbyt długi; Nie czytałem)
Uprość liczby zespolone, postępując zgodnie z zasadami algebry z liczbami zespolonymi.
Co to jest liczba zespolona?
Liczby zespolone są definiowane przez włączeniejawyraz, który jest pierwiastkiem kwadratowym z minus jeden. W matematyce na poziomie podstawowym pierwiastki kwadratowe liczb ujemnych tak naprawdę nie istnieją, ale czasami pojawiają się w zadaniach algebry. Ogólna forma liczby zespolonej pokazuje ich strukturę:
z = a + bi
Gdziezoznacza liczbę zespoloną,zareprezentuje dowolną liczbę (zwaną częścią „rzeczywistą”), abreprezentuje inną liczbę (zwaną częścią „urojoną”), z których obie mogą być dodatnie lub ujemne. Przykładowa liczba zespolona to:
z = 2 −4i
Ponieważ wszystkie pierwiastki kwadratowe liczb ujemnych mogą być reprezentowane przez wielokrotnościja, jest to forma dla wszystkich liczb zespolonych. Technicznie rzecz biorąc, liczba zwykła opisuje po prostu szczególny przypadek liczby zespolonej, gdzieb= 0, więc wszystkie liczby można uznać za złożone.
Podstawowe zasady algebry z liczbami zespolonymi
Aby dodawać i odejmować liczby zespolone, po prostu dodaj lub odejmij osobno części rzeczywiste i urojone. Więc dla liczb zespolonychz = 2 – 4jaiw = 3 + 5jasuma wynosi:
\begin{wyrównane} z + w &= (2 - 4i) + (3 + 5i) \\ &=(2 + 3) + (-4 + 5)i \\ &= 5 + 1i \\ &= 5 + ja \end{wyrównany}
Odejmowanie liczb działa w ten sam sposób:
\begin{wyrównane} z- w &= (2 - 4i) - (3 + 5i) \\ &= (2 - 3) + (-4 - 5)i \\ &= -1 -9i \end{wyrównane }
Mnożenie to kolejna prosta operacja na liczbach zespolonych, ponieważ działa jak zwykłe mnożenie, ale musisz o tym pamiętać haveja2 = −1. Więc obliczyć 3ja × −4ja:
3i × -4i = -12i^2
Lecz odkądja2= -1, to:
-12i^2 = -12 ×-1 = 12
Z pełnymi liczbami zespolonymi (przy użyciuz = 2 – 4jaiw = 3 + 5japonownie), mnożysz je w taki sam sposób, jak w przypadku zwykłych liczb, takich jak (za + b) (do + re), stosując metodę „pierwszy, wewnętrzny, zewnętrzny, ostatni” (FOIL), aby podać (za + b) (do + re) = AC + pne + ogłoszenie + bd. Wszystko, o czym musisz pamiętać, to uprościć wszelkie przypadkija2. Na przykład:
\begin{wyrównane} z × w &= (2 -4i)(3 + 5i) \\ &= (2 × 3) + (-4i × 3) + (2 × 5i) + (−4i × 5i) \ \ &= 6 -12i + 10i - 20i^2 \\ &= 6 -2i + 20 \\ &= 26 + 2i \end{wyrównane}
Dzielenie liczb zespolonych
Dzielenie liczb zespolonych polega na pomnożeniu licznika i mianownika ułamka przez sprzężenie zespolone mianownika. Sprzężenie zespolone oznacza po prostu wersję liczby zespolonej z częścią urojoną odwróconą w znaku. Więc dlaz = 2 – 4ja, złożony koniugatz = 2 + 4ja, i dlaw = 3 + 5ja, w = 3 −5ja. Dla problemu:
\frac{z}{w} = \frac{2 -4i}{3 + 5i}
Potrzebny koniugat tow*. Podziel licznik i mianownik przez to, aby otrzymać:
\frac{z}{w} = \frac{(2 -4i)(3 -5i)}{(3 + 5i)(3-5i)}
A potem pracujesz tak jak w poprzedniej sekcji. Licznik podaje:
\begin{wyrównane} (2 -4i) (3 -5i) &= 6 -12i-10i + 20i^2 \\ &= -14-22i \end{wyrównane}
A mianownik daje:
\begin{wyrównane} (3 + 5i)(3-5i) &= 9 + 15i - 15i -25i^2 \\ &= 9 + 25 \\ &= 34 \end{wyrównane}
To znaczy:
\begin{aligned} \frac{z}{w} &= \frac{-14 - 22i}{34} \\ \,\\ &= \frac{-14}{34} - \frac{22i}{ 34} \\ \,\\ &= \frac{-7}{17} -\frac{11i}{17} \end{wyrównany}
Upraszczanie liczb zespolonych
W razie potrzeby użyj powyższych reguł, aby uprościć złożone wyrażenia. Na przykład:
z = \frac{(4 + 2i) + (2 -i)}{(2 + 2i)(2+ i)}
Można to uprościć, używając zasady dodawania w liczniku, zasady mnożenia w mianowniku, a następnie uzupełniając dzielenie. Dla licznika:
(4 + 2i) + (2 - i) = 6 + i
Dla mianownika:
\begin{wyrównane} (2 + 2i)(2+ i) &= 4 + 4i + 2i + 2i^2 \\ &= (4 -2) + 6i \\ &= 2 + 6i \end{wyrównane}
Umieszczenie ich z powrotem na miejscu daje:
z = \frac{6 + i}{2 + 6i}
Mnożenie obu części przez koniugat mianownika prowadzi do:
\begin{wyrównane} z &= \frac{(6 + i) (2 - 6i)}{(2 + 6i) (2 -6i)} \\ \,\\ &= \frac{12 + 2i -36i -6i^2}{4+12i-12i -36i^2} \\ \,\\ &= \frac{18 - 34i}{40} \\ \,\\ &= \frac{9 - 17i}{20} \\ \,\\ &= \ frac{9}{20} -\frac{17i}{20} \\ \end{wyrównany}
Więc to oznaczazupraszcza w następujący sposób:
\begin{wyrównane} z &= \frac{(4 + 2i) + (2 - i)}{(2 + 2i)(2+ i)} \\ &= \frac{9}{20} -\frac {17i}{20} \\ \end{wyrównany}