Każdy uczeń algebry na wyższych poziomach musi nauczyć się rozwiązywać równania kwadratowe. Są to rodzaje równań wielomianowych, które zawierają potęgę 2, ale nie wyższą, i mają ogólną postać:topór2 + bx + do= 0. Możesz je rozwiązać, używając wzoru na równanie kwadratowe, rozkładając na czynniki lub dopełniając kwadrat.
TL; DR (zbyt długi; Nie czytałem)
Najpierw poszukaj faktoryzacji, aby rozwiązać równanie. Jeśli nie ma jednego opróczbwspółczynnik jest podzielny przez 2, uzupełnij kwadrat. Jeśli żadne z tych podejść nie jest łatwe, użyj wzoru na równanie kwadratowe.
Korzystanie z faktoryzacji do rozwiązania równania
Faktoryzacja wykorzystuje fakt, że prawa strona standardowego równania kwadratowego jest równa zeru. Oznacza to, że jeśli możesz podzielić równanie na dwa wyrazy w nawiasach pomnożone przez siebie, możesz wypracować rozwiązania, myśląc o tym, co sprawi, że każdy nawias będzie równy zero. Aby podać konkretny przykład:
x^2 + 6x + 9 = 0
Porównaj to ze standardowym formularzem:
ax^2 + bx + c = 0
W przykładzieza = 1, b= 6 ido= 9. Wyzwanie rozkładania na czynniki polega na znalezieniu dwóch liczb, które sumują się, aby uzyskać liczbę wbspot i pomnóż razem, aby uzyskać liczbę w miejscu dlado.
Tak więc, reprezentując liczby przezreimi, szukasz liczb, które spełniają:
d + e = b
Lub w tym przypadku zb = 6:
d + e = 6
I
d × e = c
Lub w tym przypadku zdo = 9:
d × e = 9
Skoncentruj się na znalezieniu liczb, które są czynnikamido, a następnie dodaj je razem, aby sprawdzić, czy są równeb. Kiedy masz już swoje numery, umieść je w następującym formacie:
(x + d) (x + e)
W powyższym przykładzie obareimisą 3:
x^2 + 6x + 9 = (x + 3) (x + 3) = 0
Jeśli pomnożysz nawiasy, otrzymasz ponownie oryginalne wyrażenie, a dobrą praktyką jest sprawdzenie rozkładu na czynniki. Możesz przejść przez ten proces (mnożąc kolejno pierwszą, wewnętrzną, zewnętrzną i ostatnią część nawiasów – zobacz Zasoby, aby zobaczyć więcej szczegółów), aby zobaczyć go w odwrotnej kolejności:
\begin{aligned} (x + 3) (x + 3) &= (x × x) + (3 × x ) + (x × 3) + (3 × 3) \\ &= x^2 + 3x + 3x + 9 \\ &= x^2 + 6x + 9 \\ \end{wyrównane}
Faktoryzacja skutecznie przebiega przez ten proces w odwrotnej kolejności, ale ustalenie tego może być trudne właściwy sposób rozkładania równania kwadratowego na czynniki, a ta metoda nie jest idealna dla każdego równania kwadratowego do tego powód. Często trzeba odgadnąć rozkład na czynniki, a następnie go sprawdzić.
Problem polega teraz na tym, aby jedno z wyrażeń w nawiasach okazało się równe zero poprzez wybór wartości dlax. Jeśli którykolwiek nawias jest równy zero, całe równanie jest równe zeru i znalazłeś rozwiązanie. Spójrz na ostatni etap [(x + 3) (x+ 3) = 0], a zobaczysz, że nawiasy wychodzą na zero tylko wtedy, gdy isx= −3. Jednak w większości przypadków równania kwadratowe mają dwa rozwiązania.
Faktoryzacja jest jeszcze trudniejsza, jeślizanie równa się jedności, ale skupienie się na prostych przypadkach jest na początku lepsze.
Uzupełnianie kwadratu do rozwiązania równania
Uzupełnienie do kwadratu pomaga rozwiązać równania kwadratowe, których nie można łatwo podzielić na czynniki. Ta metoda może działać dla dowolnego równania kwadratowego, ale niektóre równania pasują do niej bardziej niż inne. Podejście polega na uczynieniu z wyrażenia idealnego kwadratu i rozwiązaniu go. Ogólny idealny kwadrat rozwija się tak:
(x + d)^2 = x^2 + 2dx + d^2
Aby rozwiązać równanie kwadratowe przez uzupełnienie kwadratu, wprowadź wyrażenie do postaci po prawej stronie powyższego. Najpierw podziel liczbę wbpozycję o 2, a następnie podnieś wynik do kwadratu. Więc dla równania:
x^2 + 8x = 0
Współczynnikb= 8, więcb÷ 2 = 4 i (b ÷ 2)2 = 16.
Dodaj to po obu stronach, aby uzyskać:
x^2 + 8x + 16 = 16
Zauważ, że ta forma pasuje do idealnej formy kwadratowej, zre= 4, więc 2re= 8 ire2 = 16. To znaczy że:
x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2
Wstaw to do poprzedniego równania, aby uzyskać:
(x + 4)^2 = 16
Teraz rozwiąż równanie dlax. Wyciągnij pierwiastek kwadratowy z obu stron, aby uzyskać:
x + 4 = \sqrt{16}
Odejmij 4 z obu stron, aby uzyskać:
x = \sqrt{16} - 4
Korzeń może być dodatni lub ujemny, a wzięcie ujemnego korzenia daje:
x = -4 - 4 = -8
Znajdź inne rozwiązanie z dodatnim pierwiastkiem:
x = 4 - 4 = 0
Dlatego jedynym niezerowym rozwiązaniem jest -8. Sprawdź to z oryginalnym wyrażeniem, aby potwierdzić.
Używanie wzoru kwadratowego do rozwiązywania równania
Formuła równania kwadratowego wygląda na bardziej skomplikowaną niż inne metody, ale jest to najbardziej niezawodna metoda i można jej użyć w dowolnym równaniu kwadratowym. Równanie wykorzystuje symbole ze standardowego równania kwadratowego:
ax^2 + bx + c = 0
I stwierdza, że:
x = \frac{-b ± \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
Wstaw odpowiednie liczby w odpowiednie miejsca i przepracuj wzór do rozwiązania, pamiętając, aby spróbować zarówno odejmowania, jak i dodawania pierwiastka kwadratowego i zanotowania obu odpowiedzi. Dla następującego przykładu:
x^2 + 6x + 5 = 0
Ty maszza = 1, b= 6 ido= 5. Tak więc formuła daje:
\begin{wyrównane} x &= \frac{-6 ± \sqrt{6^2 - 4×1×5}}{2×1} \\ &= \frac{-6 ± \sqrt{36 - 20} }{2} \\ &= \frac{-6 ± \sqrt{16}}{2} \\ &= \frac{-6 ± 4}{2} \end{aligned}
Przyjęcie znaku pozytywnego daje:
\begin{aligned} x &= \frac{-6 + 4}{2} \\ &= \frac{-2}{2} \\ &= -1 \end{aligned}
A przyjęcie znaku ujemnego daje:
\begin{aligned} x &= \frac{-6 - 4}{2} \\ &= \frac{-10}{2} \\ &= -5 \end{aligned}
Jakie są dwa rozwiązania tego równania.
Jak określić najlepszą metodę rozwiązywania równań kwadratowych
Poszukaj rozkładu na czynniki, zanim spróbujesz czegokolwiek innego. Jeśli możesz go znaleźć, jest to najszybszy i najłatwiejszy sposób rozwiązania równania kwadratowego. Pamiętaj, że szukasz dwóch liczb, które sumują się dobwspółczynnik i pomnóż, aby otrzymaćdowspółczynnik. Dla tego równania:
x^2 + 5x + 6 = 0
Możesz zauważyć, że 2 + 3 = 5 i 2 × 3 = 6, więc:
x^2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3) = 0
Ix= -2 lubx = −3.
Jeśli nie widzisz rozkładu na czynniki, sprawdź, czybwspółczynnik jest podzielny przez 2 bez uciekania się do ułamków. Jeśli tak, wypełnienie kwadratu jest prawdopodobnie najłatwiejszym sposobem rozwiązania równania.
Jeśli żadne podejście nie wydaje się odpowiednie, użyj wzoru. Wydaje się to najtrudniejszym podejściem, ale jeśli jesteś na egzaminie lub w inny sposób masz presję, może to sprawić, że proces będzie znacznie mniej stresujący i znacznie szybszy.