Rozkład dwumianowy opisuje zmienną X jeśli 1) jest stała liczba nie obserwacje zmiennej; 2) wszystkie obserwacje są od siebie niezależne; 3) prawdopodobieństwo sukcesu p jest taki sam dla każdej obserwacji; oraz 4) każda obserwacja reprezentuje jeden z dokładnie dwóch możliwych wyników (stąd słowo „dwumianowy” – myśl „binarny”). Ta ostatnia kwalifikacja odróżnia rozkłady dwumianowe od rozkładów Poissona, które zmieniają się w sposób ciągły, a nie dyskretny.
Taki rozkład można napisać b(nie, p).
Obliczanie prawdopodobieństwa danej obserwacji
Powiedz wartość k leży gdzieś wzdłuż wykresu rozkładu dwumianowego, który jest symetryczny względem średniej np. Aby obliczyć prawdopodobieństwo, że obserwacja będzie miała tę wartość, należy rozwiązać to równanie:
P(X = k) = (n: k) p^k (1-p)^{n-k}
gdzie
(n: k) = \frac{n!}{k!(n - k)!}
Znak „!” oznacza funkcję silni, np. 27! = 27 × 26 × 25 ×... × 3 × 2 × 1.
Przykład
Załóżmy, że koszykarz wykonuje 24 rzuty wolne i ma ustalony wskaźnik sukcesu wynoszący 75 procent (p = 0.75). Jakie są szanse, że trafi dokładnie 20 z 24 strzałów?
Najpierw oblicz (nie: k) w następujący sposób:
\frac{n!}{k!(n - k)!} = \frac{24!}{ (20!)(4!)} = 10 626 \\
pk = 0,75^{20} = 0,00317
(1-p)^{n-k} = (0,25)^4 = 0,00390
A zatem
P(20) = 10 626×0,00317×0,00390 = 0,1314
Ten zawodnik ma zatem 13,1 procent szans na wykonanie dokładnie 20 z 24 rzutów wolnych, zgodnie z intuicją. zasugerować zawodnika, który zwykle trafiałby 18 z 24 rzutów wolnych (ze względu na jej ustalony wskaźnik sukcesu wynoszący 75 procent).