Czasami konieczne jest znalezienie niezerowego wektora, który po pomnożeniu przez macierz kwadratową da nam wielokrotność wektora. Ten niezerowy wektor nazywany jest „wektorem własnym”. Wektory własne interesują nie tylko matematyków, ale także innych osób wykonujących zawody takie jak fizyka i inżynieria. Aby je obliczyć, będziesz musiał zrozumieć algebrę macierzową i wyznaczniki.
Poznaj i zrozum definicję „wektora własnego”. Znajduje się dla n x n kwadratowej macierzy A, a także a skalarna wartość własna zwana „lambda”. Lambda jest reprezentowana przez grecką literę, ale tutaj skrócimy ją do L. Jeśli istnieje niezerowy wektor x, gdzie Ax = Lx, ten wektor x nazywany jest „wartością własną A”.
Znajdź wartości własne macierzy za pomocą równania charakterystycznego det (A -- LI) = 0. „Det” oznacza wyznacznik, a „ja” to macierz tożsamości.
Oblicz wektor własny dla każdej wartości własnej, znajdując przestrzeń własną E(L), która jest przestrzenią zerową równania charakterystycznego. Niezerowe wektory E(L) są wektorami własnymi A. Można je znaleźć, wstawiając wektory własne z powrotem do macierzy charakterystyki i znajdując podstawę dla A -- LI = 0.
Oblicz wartości własne korzystając z równania charakterystycznego. Det (A -- LI) wynosi (3 -- L)(3 -- L) -1 = L^2 -- 6L + 8 = 0, co jest wielomianem charakterystycznym. Rozwiązanie tego algebraicznie daje nam L1 = 4 i L2 = 2, które są wartościami własnymi naszej macierzy.
Znajdź wektor własny dla L = 4, obliczając przestrzeń zerową. Zrób to umieszczając L1 = 4 w macierzy charakterystyki i znajdując podstawę dla A -- 4I = 0. Rozwiązując to, znajdujemy x -- y = 0 lub x = y. Ma to tylko jedno niezależne rozwiązanie, ponieważ są one równe, na przykład x = y = 1. Dlatego v1 = (1,1) jest wektorem własnym, który obejmuje przestrzeń własną L1 = 4.
Powtórz krok 6, aby znaleźć wektor własny dla L2 = 2. Znajdujemy x + y = 0 lub x = --y. To również ma jedno niezależne rozwiązanie, powiedzmy x = -1 i y = 1. Dlatego v2 = (-1,1) jest wektorem własnym, który obejmuje przestrzeń własną L2 = 2.