Trygonometria może wydawać się dość abstrakcyjnym tematem. Tajemne terminy, takie jak „grzech” i „cos”, po prostu wydają się nie odpowiadać niczemu w rzeczywistości i trudno je ogarnąć jako pojęcia. Koło jednostkowe znacząco w tym pomaga, oferując proste wyjaśnienie, jakie są liczby, które otrzymujesz, gdy bierzesz sinus, cosinus lub tangens kąta. Dla każdego studenta nauk ścisłych lub matematyki zrozumienie okręgu jednostkowego może naprawdę umocnić zrozumienie trygonometrii i sposobu korzystania z funkcji.
TL; DR (zbyt długi; Nie czytałem)
Okrąg jednostkowy ma promień równy jeden. Wyobraź sobiexyukład współrzędnych rozpoczynający się w środku tego okręgu. Kąty punktowe są mierzone od tego, gdziex= 1 itak= 0, po prawej stronie okręgu. Kąty zwiększają się, gdy poruszasz się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.
Korzystanie z tej struktury itakdlatak-koordynować ixdlax-współrzędna punktu na okręgu:
grzechθ = tak
sałataθ = x
I konsekwentnie:
dębnikθ = tak / x
Co to jest krąg jednostek?
Okrąg „jednostkowy” ma promień równy 1. Innymi słowy, odległość od środka okręgu do dowolnej części krawędzi wynosi zawsze 1. Jednostka miary tak naprawdę nie ma znaczenia, ponieważ najważniejszą rzeczą w okręgu jednostkowym jest to, że znacznie upraszcza wiele równań i obliczeń.
Służy również jako użyteczna podstawa do zapoznania się z definicjami kątów. Wyobraź sobie, że środek okręgu znajduje się w środku układu współrzędnych zx-oś biegnąca poziomo i atak-oś biegnąca pionowo. Koło przecinax-oś wx = 1, tak= 0. Naukowcy i matematycy określają kąt od tego punktu, poruszając się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Więc punktx =1, tak= 0 na okręgu jest pod kątem 0°.
Definicje grzechu i cos z jednostką okrąg
Zwykłe definicje sin, cos i tan podawane uczniom odnoszą się do trójkątów. Stwierdzają:
\sin θ = \frac{\text{przeciwprostokątna}}{\text{przeciwprostokątna}} \\ \,\\ \cos θ = \frac{\text{przyprostokątna}}{\text{hipoprostokątna}} \\ \, \\ \tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ}
„Przeciwne” odnosi się do długości boku trójkąta przeciwległego do kąta, „sąsiadujące” odnosi się do długość boku przy kącie, a „przeciwprostokątna” odnosi się do długości przekątnej boku trójkąt.
Wyobraź sobie, że tworzysz trójkąt, tak aby przeciwprostokątna była zawsze promieniem okręgu jednostkowego, z jednym rogiem na krawędzi okręgu i jednym w jego środku. Oznacza to, że przeciwprostokątna = 1 w powyższych równaniach, więc dwie pierwsze stają się:
\sin θ = \frac{\text{sąsiadujące}}{1} = \text{sąsiadujące}\\ \,\\ \cos θ = \frac{\text{sąsiadujące}}{1} = \text{sąsiadujące} \\
Jeśli ustawisz dany kąt jako ten w środku koła, przeciwnie jest po prostu istak-współrzędna i sąsiednia to tylkox-współrzędna punktu na okręgu, który dotyka trójkąta. Innymi słowy, grzech zwracatak-współrzędna na okręgu jednostkowym (za pomocą współrzędnych rozpoczynających się w środku) dla danego kąta, a cos zwracax-koordynować. Dlatego cos (0) = 1 i sin (0) = 0, bo w tym momencie są to współrzędne. Podobnie, cos (90) = 0 i sin (90) = 1, ponieważ jest to punkt zx= 0 itak= 1. W postaci równania:
\sin θ = y \\ \cos θ = x
Na tej podstawie można również łatwo zrozumieć kąty ujemne. Ujemne kąty (mierzone zgodnie z ruchem wskazówek zegara od punktu początkowego) mają to samoxwspółrzędne jako odpowiedni kąt dodatni, więc:
\cos -θ = \cos θ
Jednakżetak-przełączniki współrzędnych, co oznacza, że
\sin -θ = -\sin θ
Definicja opalenizny z jednostkowym kołem
Podana powyżej definicja opalenizny to:
\tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ}
Ale dzięki definicjom okręgu jednostkowego sin i cos widać, że jest to równoważne:
\tan θ = \frac{\text{naprzeciwko}}{\text{sąsiadujący}}
Albo myśląc w kategoriach współrzędnych:
\tan θ = \frac{y}{x}
To wyjaśnia, dlaczego tan jest nieokreślony dla 90° lub -270° i 270° lub -90° (gdziex= 0), ponieważ nie można dzielić przez zero.
Wykresy funkcji trygonometrycznych
Wykreślanie sin lub cos staje się łatwiejsze, gdy pomyślisz o okręgu jednostkowym.x-współrzędna zmienia się płynnie podczas poruszania się po okręgu, zaczynając od 1 i zmniejszając się do minimum -1 przy 180 °, a następnie zwiększając w ten sam sposób. Funkcja sin robi to samo, ale najpierw zwiększa się do maksymalnej wartości 1 przy 90°, zanim zastosuje się do tego samego wzoru. Mówi się, że te dwie funkcje są przesunięte względem siebie o 90°.
Wykreślanie opalenizny wymaga dzieleniatakprzezx, a więc jest bardziej skomplikowany w grafie, a także ma punkty, w których jest niezdefiniowany.