Prawo sinusów to wzór porównujący stosunek kątów trójkąta do długości jego boków. Dopóki znasz co najmniej dwa boki i jeden kąt lub dwa kąty i jeden bok, możesz użyć prawa sinusów, aby znaleźć inne brakujące informacje o swoim trójkącie. Jednak w bardzo ograniczonych okolicznościach możesz otrzymać dwie odpowiedzi na miarę jednego kąta. Jest to znane jako niejednoznaczny przypadek prawa sinusów.
Kiedy niejednoznaczna sprawa może się wydarzyć
Niejednoznaczny przypadek prawa sinusów może mieć miejsce tylko wtedy, gdy część "znana informacja" twojego trójkąta składa się z dwóch boków i kąta, gdzie kąt jestniemiędzy dwiema znanymi stronami. Jest to czasami określane skrótem jako SSA lub trójkąt boczno-boczny. Gdyby kąt znajdował się między dwoma znanymi bokami, zostałby skrócony jako SAS lub trójkąt boczny kątowo-boczny, a niejednoznaczny przypadek nie miałby zastosowania.
Podsumowanie prawa sinusów
Prawo sinusów można zapisać na dwa sposoby. Pierwsza forma jest wygodna do znalezienia miar brakujących boków:
\frac{a}{\sin (A)}= \frac{b}{\sin (B)} = \frac{c}{\sin (C)}
Druga forma jest wygodna do znajdowania miar brakujących kątów:
\frac{\sin (A)}{a}= \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}
Zauważ, że obie formy są równoważne. Użycie jednego lub drugiego formularza nie zmieni wyniku Twoich obliczeń. To po prostu ułatwia pracę z nimi w zależności od rozwiązania, którego szukasz.
Jak wygląda niejednoznaczna sprawa
W większości przypadków jedyną wskazówką, że możesz mieć niejednoznaczny przypadek na swoich rękach, jest obecność trójkąta SSA, w którym zostaniesz poproszony o znalezienie jednego z brakujących kątów. Wyobraź sobie, że masz trójkąt z kątemZA= 35 stopni, bokza= 25 jednostek i bokb= 38 jednostek i zostałeś poproszony o znalezienie miary kątab. Po znalezieniu brakującego kąta musisz sprawdzić, czy niejednoznaczny przypadek ma zastosowanie.
Wstaw swoje znane informacje do prawa sinusów. Korzystając z drugiego formularza, otrzymujesz:
\frac{\sin (35)}{25}= \frac{\sin (B)}{38} = \frac{\sin (C)}{c}
Zignoruj grzech (do)/do; nie ma to znaczenia dla celów tego obliczenia. Tak naprawdę masz:
\frac{\sin (35)}{25}= \frac{\sin (B)}{38}
Rozwiąż dlab. Jedną z opcji jest mnożenie krzyżowe; to daje:
25 × \sin (B) = 38 ×\ sin (35)
Następnie uprość, używając kalkulatora lub wykresu, aby znaleźć wartość sin (35). To około 0,57358, co daje:
25 × \sin (B) = 38 × 0,57358
co upraszcza:
25 × \sin (B) = 21,79604
Następnie podziel obie strony przez 25, aby wyizolować grzech (b), daje Ci:
\sin (B) = 0,8718416
Aby zakończyć rozwiązywanie dlab, weź arcus sinus lub odwrotny sinus z 0.8718416. Innymi słowy, użyj kalkulatora lub wykresu, aby znaleźć przybliżoną wartość kąta B, który ma sinus 0,8718416. Ten kąt wynosi około 61 stopni.
Sprawdź niejednoznaczny przypadek
Teraz, gdy masz wstępne rozwiązanie, nadszedł czas, aby sprawdzić niejednoznaczny przypadek. Ten przypadek pojawia się, ponieważ dla każdego kąta ostrego istnieje kąt rozwarty o tym samym sinusie. Tak więc, podczas gdy ~61 stopni jest kątem ostrym, który ma sinus 0,8718416, należy również rozważyć kąt rozwarty jako możliwe rozwiązanie. Jest to trochę skomplikowane, ponieważ Twój kalkulator i wykres wartości sinusoidalnych najprawdopodobniej nie powie Ci o kącie rozwartym, więc musisz pamiętać, aby to sprawdzić.
Znajdź kąt rozwarty z tym samym sinusem, odejmując znaleziony kąt – 61 stopni – od 180. Więc masz 180 - 61 = 119. Zatem 119 stopni to kąt rozwarty, który ma taki sam sinus jak 61 stopni. (Możesz to sprawdzić za pomocą kalkulatora lub wykresu sinusoidalnego.)
Ale czy ten kąt rozwarty stworzy prawidłowy trójkąt z innymi informacjami, które posiadasz? Możesz łatwo sprawdzić, dodając ten nowy, rozwarty kąt do „znanego kąta”, który otrzymałeś w pierwotnym zadaniu. Jeśli suma jest mniejsza niż 180 stopni, kąt rozwarty reprezentuje prawidłowe rozwiązanie i będziesz musiał kontynuować dalsze obliczenia zobiebrane pod uwagę trójkąty. Jeśli suma jest większa niż 180 stopni, kąt rozwarty nie reprezentuje prawidłowego rozwiązania.
W tym przypadku „znany kąt” wynosił 35 stopni, a nowo odkryty kąt rozwarty 119 stopni. Więc masz:
119 + 35 = 154 \text{ stopni}
Ponieważ 154 stopnie < 180 stopni, niejednoznaczny przypadek ma zastosowanie i masz dwa poprawne rozwiązania: dany kąt może mierzyć 61 stopni lub może mierzyć 119 stopni.