Funkcja okresowa to funkcja, która powtarza swoje wartości w regularnych odstępach czasu lub „okresach”. Myśleć o to jak bicie serca lub podstawowy rytm w piosence: powtarza tę samą czynność w stałym rytmie. Wykres funkcji okresowej wygląda tak, jakby jeden wzór powtarzał się w kółko.
TL; DR (zbyt długi; Nie czytałem)
Funkcja okresowa powtarza swoje wartości w regularnych odstępach czasu lub „okresach”.
Rodzaje funkcji okresowych
Najbardziej znanymi funkcjami okresowymi są funkcje trygonometryczne: sinus, cosinus, tangens, cotangens, secans, cosecans itp. Inne przykłady funkcji okresowych w przyrodzie obejmują fale świetlne, fale dźwiękowe i fazy księżyca. Każdy z nich, na wykresie na płaszczyźnie współrzędnych, tworzy powtarzający się wzór na tym samym przedziale, co ułatwia przewidywanie.
Okres funkcji okresowej to odstęp między dwoma „pasującymi” punktami na wykresie. Innymi słowy, jest to odległość wzdłużx-oś, którą funkcja musi przebyć, zanim zacznie powtarzać swój wzorzec. Podstawowe funkcje sinus i cosinus mają okres 2π, natomiast tangens okres π.
Innym sposobem zrozumienia okresu i powtórzeń funkcji trygonometrycznych jest myślenie o nich w kategoriach okręgu jednostkowego. W okręgu jednostek wartości krążą wokół okręgu, gdy zwiększają swój rozmiar. Ten powtarzalny ruch to ta sama idea, która znajduje odzwierciedlenie w stałym wzorze funkcji okresowej. A dla sinusa i cosinusa musisz wykonać pełną ścieżkę wokół okręgu (2π), zanim wartości zaczną się powtarzać.
Równanie funkcji okresowej
Funkcję okresową można również zdefiniować jako równanie o następującej postaci:
f (x + nP) = f (x)
GdziePjest okresem (niezerową stałą) iniejest dodatnią liczbą całkowitą.
Na przykład możesz zapisać funkcję sinus w ten sposób:
\sin (x + 2π) = \sin (x)
nie= 1 w tym przypadku, a okres,P, dla funkcji sinus wynosi 2π.
Przetestuj to, wypróbowując kilka wartości dlaxlub spójrz na wykres: Wybierz dowolnyx-wartość, a następnie przesuń 2π w dowolnym kierunku wzdłużx-oś;tak-wartość powinna pozostać taka sama.
Teraz spróbuj, kiedynie = 2:
\sin (x + (2×2π)) = \sin (x) \\ \sin (x + 4π) = \sin (x)
Oblicz dla różnych wartościx: x = 0, x = π, x= π/2 lub sprawdź na wykresie.
Funkcja cotangensa podlega tym samym zasadom, ale jej okres wynosi π radianów zamiast 2π radianów, więc jej wykres i równanie wyglądają tak:
\cot (x + nπ) = \cot (x)
Zauważ, że funkcje tangens i cotangens są okresowe, ale nie są ciągłe: na ich wykresach są „załamania”.