Pojęciewartości własnejest niejasna, ale bardzo przydatna dla matematyków i fizyków borykających się z pewnymi interesującymi problemami.
Aby zrozumieć wartość własną, wyobraź sobie posiadanie funkcji (np.tak = x2 + 6x, lubtak= log 4x), że możesz przeprowadzić jakiś proces tak, aby wynik był taki sam, jak pomnożenie całej funkcji przez stałą wartość. Taka funkcja kwalifikuje się jakofunkcja własna, a stała byłaby wartością własną.
- „Eigen” to po niemiecku „to samo”.
Aby najlepiej zrozumieć wartości własne i funkcje własne oraz móc samodzielnie obliczyć wartości własne, potrzebujesz podstawowej wiedzy na temat macierzy. Te matematyczne sztuczki są używane do określenia, powiedzmy, kolejności wiązania NO2 (dwutlenek azotu) i inne cząsteczki, ponieważ zachowanie elektronów w atomach jest determinowane przez funkcje falowe, które kwalifikują się jako funkcje własne.
Co to jest matryca?
Macierz to tablica liczb uporządkowanych w wierszach i kolumnach, które mogą liczyć od 1 donie. Wymiary macierzy podane są w kolejności wiersz po kolumnie; na przykład poniżej jest macierz 2 na 3:
\begin{bmacierz} 3 i 0 i 4 \\ 1 i 3 i 5 \\ \end{bmacierz}
Macierze można dodawać razem, jeśli mają ten sam rozmiar (czyli mają taką samą liczbę wierszy i taką samą liczbę kolumn). Mogą być również mnożone razem w procesie stopniowym w tych samych warunkach. Ponadto dowolną macierz można pomnożyć przez wektor, który jest 1 przeznielubnie-by-1 macierz; obejmuje to również inne wektory.
Co to jest równanie wartości własnej?
Powiedz, że masznie-przez-nieczyli macierz „kwadratowa”ZA, niezerowenie-przez 1 wektorvi skalarλ, tak aby spełnione było następujące równanie:
\bold{Av} = λ\bold{v}
Dowolna wartośćλdla którego to równanie ma rozwiązanie jest znane jako wartość własna macierzyZA.
Nie pozwól, aby twój umysł traktował powyższe wyrażenia jako produkt.ZAjestoperatorna lub przekształcenie liniowe wektorav, to obliczenie jest możliwe tylko dlatego, żeZAivobie mająniewydziwianie.
Dlaczego warto korzystać z funkcji wartości własnych?
Wyprowadzenie jest skomplikowane, ale w chemii atomowej operator Hamiltona „H-bar” jest używany do wyrażenia energii kinetycznej i potencjalnej układu:
\hat H=−\dfrac{ℏ}{2m}∇^2+\hat V(x, y, z)
Służy do napisania formyRównanie funkcji falowej Schrodingeraw mechanice kwantowej:
\hat Hψ(x, y, z)=Eψ(x, y, z)
Tutajmireprezentuje wartości własne spełniające to równanie.
Sposoby znajdowania wartości własnych macierzy
Z równania Av = λv otrzymujeszZA v − λv=0. To prowadzi do:
\bold{A v} − λ(\bold{I v})=0
Gdziejajest macierzą tożsamości 2 na 2 z rzędami [λ0] i [0λ], co prowadzi do 1 po pomnożeniu przez skalarλ. Ten wynik daje:
(\bold{A} - λ\bold{I})\bold{v} = 0
Co jeślivjest niezerowe, ma rozwiązanie tylko wtedy, gdy wartość bezwzględnaZA− λjalub | orZA − λja|, jest zerem. Jeśli robisz to ręcznie, wiąże się to z rozwiązaniem równania kwadratowego i może być nużące.
Aby pomnożyć dwie macierze przez siebie, dla każdego punktu w macierzy iloczynu mnożysz przez siebie odpowiednie punkty i dodaj to do produktów pozostałych elementów wiersza i kolumny w wierszu i kolumnie, do których nowy punkt należy.
Mnożąc dwie macierze 2x2ZAibrazem, jeśli pierwszy rządZAto [1 3] i pierwsza kolumnabwynosi [2 5], liczba w pierwszej kolumnie i wierszu nowej macierzy wyniesie [(1 × 2) +(3 × 5)] = 15 i odpowiednio dla pozostałych trzech punktów.
Oblicz wartości własne online
W zasobach znajdziesz narzędzie do obliczania macierzy, które pozwala znaleźć wartości własne i nie tylko dla macierzy o niemal dowolnym możliwym rozmiarze.