W matematyce odwrotność liczby to liczba, która po pomnożeniu przez liczbę pierwotną daje 1. Na przykład odwrotność zmiennej x wynosi 1/x, dlatego
x × \frac{1}{x} = \frac{x}{x} = 1
W tym przykładzie 1/xjest wzajemną tożsamościąx, i wzajemnie. W trygonometrii każdy z kątów innych niż 90 stopni w trójkącie prostokątnym może być określony przez stosunki zwane sinusem, cosinusem i tangensem. Stosując koncepcję wzajemnych tożsamości, matematycy definiują jeszcze trzy współczynniki. Ich nazwy to cosecans, secant i cotangens. Cosecant to wzajemna tożsamość sinusa, secans cosinusa i cotangens to tangens.
Jak określić wzajemne tożsamości?
Rozważ kątθ, który jest jednym z dwóch kątów innych niż 90 stopni w trójkącie prostokątnym. Jeżeli długość boku trójkąta przeciwnego do kąta wynosi „b, "długość boku przylegającego do kąta i przeciwległego do przeciwprostokątnych wynosi "za" a długość przeciwprostokątnej wynosi "r”, możemy zdefiniować trzy podstawowe stosunki trygonometryczne pod względem tych długości.
\text{sinus } θ = \sin θ = \frac{b}{r} \\ \,\\ \text{cosinus }θ = \cos θ = \frac{a}{r} \\ \,\\ \text{tangens }θ = \tan θ = \frac{b}{a} \\
Wzajemna tożsamość grzechuθmusi być równy 1/sin θ, ponieważ jest to liczba pomnożona przez sinθ, produkuje 1. To samo dotyczy cosθi tanθ. Matematycy nadają tym odwrotnościom nazwy odpowiednio cosecant, secant i cotangens. Zgodnie z definicją:
\text{cosecans }θ = \csc θ = \frac{1}{\sin θ} \\ \,\\ \text{secans }θ = \sec θ = \frac{1}{\cos θ} \\ \,\\ \text{cotangens }θ = \cot θ = \frac{1}{\tan θ}
Możesz zdefiniować te wzajemne tożsamości w kategoriach długości boków trójkąta prostokątnego w następujący sposób:
\csc θ = \frac{r}{b} \\ \,\\ \sec θ = \frac{r}{a} \\ \,\\ \cot θ = \frac{a}{b}
Poniższe zależności są prawdziwe dla dowolnego kątaθ:
\sin θ × \csc θ = 1 \\ \cos θ × \sec θ = 1 \\ \tan θ × \cot θ = 1
Dwie inne tożsamości trygonometryczne
Jeśli znasz sinus i cosinus kąta, możesz wyprowadzić tangens. To prawda, ponieważ
\sin θ = \frac{b}{r} \text{ i } \cos θ = \frac{a}{r} \text{, więc } \frac{\sin θ}{\cos θ} = \frac {b}{r} × \frac{r}{a} = \frac{b}{a}
Ponieważ taka jest definicja tan θ, następująca tożsamość, znana jako tożsamość ilorazowa, wygląda następująco:
\frac{\sin θ}{\cos θ} = \tan θ \\ \,\\ \frac{\cos θ}{\sin θ} = \cot θ
Tożsamość pitagorejska wynika z faktu, że dla dowolnego trójkąta prostokątnego o bokachzaibi przeciwprostokątnar, to jest prawdziwe:za2 + b2 = r2. Zmieniając terminy i określając stosunki w kategoriach sinusa i cosinusa, otrzymujesz następujące wyrażenie:
\sin^2 θ + \cos^2 θ = 1
Dwie inne ważne relacje pojawiają się, gdy wstawiasz wzajemne tożsamości dla sinusa i cosinusa w powyższym wyrażeniu:
\tan^2 θ + 1 = \sec^2 θ \\ \cot^2 θ + 1 = \csc^2 θ