W matematyce i geometrii jedną z umiejętności odróżniających ekspertów od pretendentów jest znajomość trików i skrótów. Czas poświęcony na ich naukę zwraca się w czasie zaoszczędzonym na rozwiązywaniu problemów. Na przykład warto znać dwa specjalne trójkąty prostokątne, które po ich rozpoznaniu są bardzo proste do rozwiązania. W szczególności dwa trójkąty to 30-60-90 i 45-45-90.
TL; DR (zbyt długi; Nie czytałem)
Dwa specjalne trójkąty prostokątne mają kąty wewnętrzne 30, 60 i 90 stopni oraz 45, 45 i 90 stopni.
O trójkątach prostokątnych
Trójkąty to trójboczne wielokąty, których kąty wewnętrzne sumują się do 180 stopni. Trójkąt prostokątny to szczególny przypadek, w którym jeden z kątów ma 90 stopni, więc pozostałe dwa kąty z definicji muszą sumować się do 90. Sinus, cosinus, tangens i inne funkcje trygonometryczne umożliwiają obliczanie kątów wewnętrznych trójkątów prostokątnych oraz długości ich boków. Innym niezbędnym narzędziem obliczeniowym dla trójkątów prostokątnych jest twierdzenie Pitagorasa, które stwierdza: że kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów pozostałych dwóch boki, lub
c^2 = a^2 + b^2
Rozwiązywanie specjalnych trójkątów prostokątnych
Kiedy pracujesz nad jakimkolwiek problemem z trójkątem prostokątnym, zwykle otrzymujesz co najmniej jeden kąt i jeden bok i prosisz o obliczenie pozostałych kątów i boków. Korzystając z powyższego wzoru pitagorejskiego, możesz obliczyć długość dowolnego boku, jeśli masz pozostałe dwa. Dużą zaletą specjalnych trójkątów prostokątnych jest to, że proporcje długości ich boków są zawsze takie same, więc możesz znaleźć długość wszystkich boków, jeśli masz tylko jeden. Ponadto, jeśli masz tylko jedną stronę, a trójkąt jest wyjątkowy, możesz również znaleźć wartości kątów.
Trójkąt 30-60-90
Jak sama nazwa wskazuje, trójkąt prostokątny 30-60-90 ma wewnętrzne kąty 30, 60 i 90 stopni. W konsekwencji boki tego trójkąta mieszczą się w proporcjach 1: 2: √3, gdzie 1 i √3 to długości boków przeciwległych i sąsiednich, a 2 to przeciwprostokątna. Te liczby zawsze idą w parze: jeśli rozwiążesz boki trójkąta prostokątnego i stwierdzisz, że pasują do wzoru, 1, 2, √3, wiesz, że kąty będą wynosić 30, 60 i 90 stopni. Podobnie, jeśli jeden z kątów ma wartość 30, wiesz, że pozostałe dwa to 60 i 90, a także, że boki będą miały proporcje 1: 2: .3.
Trójkąt 45-45-90
Trójkąt 45-45-90 działa podobnie jak 30-60-90, z tą różnicą, że dwa kąty są równe, podobnie jak przeciwne i przyległe boki. Posiada kąty wewnętrzne 45, 45 i 90 stopni. Proporcje boków trójkąta wynoszą 1: 1: √2, przy proporcji przeciwprostokątnej √2. Pozostałe dwie strony mają taką samą długość. Jeśli pracujesz nad trójkątem prostokątnym, a jeden z wewnętrznych kątów wynosi 45 stopni, wiesz, że w moment, w którym pozostały kąt musi również wynosić 45 stopni, ponieważ cały trójkąt musi się sumować do 180 stopnie.
Boki trójkąta i proporcje
Rozwiązując dwa specjalne trójkąty prostokątne, pamiętaj, że jest toproporcjestron, które mają znaczenie, a nie ich pomiar w wartościach bezwzględnych. Na przykład trójkąt ma boki, które mierzą 1 stopę, 1 stopę i √ 2 stopy, więc wiesz, że jest to trójkąt 45-45-90 i ma kąty wewnętrzne 45, 45 i 90 stopni.
Ale co zrobić z trójkątem prostokątnym, którego boki mierzą √17 stóp i √17 stóp? Kluczowe są proporcje boków. Ponieważ oba boki są identyczne, proporcje są względem siebie 1:1, a ponieważ jest to trójkąt prostokątny, proporcja przeciwprostokątnej wynosi 1:√2 z każdym z pozostałych boków. Równe proporcje wskazują, że boki to 1, 1, √2, co należy tylko do specjalnego trójkąta 45-45-90. Aby znaleźć przeciwprostokątną, pomnóż √17 przez √2, aby otrzymać √34 stopy.