Jak znaleźć największy wspólny czynnik dwóch liczb Number

Znalezienie największego wspólnego dzielnika lub GCF dwóch liczb jest przydatne w wielu sytuacjach matematycznych, ale szczególnie w przypadku upraszczania ułamków. Jeśli zmagasz się z tym problemem lub znajdujesz wspólne mianowniki, poznanie dwóch metod znajdowania wspólnych czynników pomoże Ci osiągnąć to, co zamierzasz zrobić. Najpierw jednak dobrym pomysłem jest poznanie podstaw czynników; następnie możesz przyjrzeć się dwóm podejściom do znajdowania wspólnych czynników. Na koniec możesz przyjrzeć się, jak zastosować swoją wiedzę, aby uprościć ułamek.

Czynniki to liczby, które pomnożysz przez siebie, aby uzyskać inną liczbę. Na przykład 2 i 3 są dzielnikami 6, ponieważ 2 × 3 = 6. Podobnie 3 i 3 są dzielnikami 9, ponieważ 3 × 3 = 9. Jak być może wiesz, liczby pierwsze to liczby, które nie mają innych czynników niż same siebie i 1. Tak więc 3 jest liczbą pierwszą, ponieważ jedyne dwie liczby całkowite (całkowite), które można pomnożyć, aby otrzymać 3 jako odpowiedź, to 3 i 1. W ten sam sposób 7 jest liczbą pierwszą, podobnie jak 13.

Z tego powodu często pomocne jest rozbicie liczby na „czynniki podstawowe”. Oznacza to znalezienie wszystkich czynników liczb pierwszych innej liczby. Zasadniczo rozkłada liczbę na podstawowe „cegiełki”, co jest przydatnym krokiem w kierunku znalezienie największego wspólnego dzielnika dwóch liczb i jest również nieocenione przy upraszczaniu kwadratu korzenie.

Najprostszą metodą znalezienia największego wspólnego dzielnika dwóch liczb jest po prostu wymienienie wszystkich czynników każdej liczby i wyszukanie największej liczby wspólnej dla obu liczb. Wyobraź sobie, że chcesz znaleźć najwyższy wspólny dzielnik 45 i 60. Najpierw spójrz na różne liczby, które możesz pomnożyć, aby otrzymać 45.

Najłatwiej zacząć od dwóch, o których wiesz, że będą działać, nawet dla liczby pierwszej. W tym przypadku wiemy, że 1 × 45 = 45, więc wiemy, że 1 i 45 to dzielniki 45. Są to pierwszy i ostatni czynnik 45, więc możesz po prostu wypełnić stamtąd. Następnie sprawdź, czy 2 jest czynnikiem. Jest to łatwe, ponieważ każda liczba parzysta będzie podzielna przez 2, a liczba nieparzysta nie. Wiemy więc, że 2 nie jest współczynnikiem 45. A co z 3? Powinieneś być w stanie zauważyć, że 3 to czynnik 45, ponieważ 3 × 15 = 45 (zawsze możesz budować na tym, co wiesz, jak to rozpracować, na przykład będziesz wiedział, że 3 × 12 = 36, a dodanie do tego trójek prowadzi do 45).

Następnie, czy 4 to czynnik 45? Nie – znasz 11 × 4 = 44, więc nie może być! A co z 5? To kolejna łatwa, ponieważ każda liczba kończąca się na 0 lub 5 jest podzielna przez 5. Dzięki temu łatwo zauważysz, że 5 × 9 = 45. Ale 6 nie jest dobre, ponieważ 7 × 6 = 42 i 8 × 6 = 48. Z tego widać również, że 7 i 8 nie są czynnikami 45. Wiemy już, że 9 jest i łatwo zauważyć, że 10 i 11 nie są czynnikami. Kontynuuj ten proces, a zauważysz, że 15 jest czynnikiem, ale nic więcej nie jest.

Zatem dzielniki 45 to: 1, 3, 5, 9, 15 i 45.

Przez 60 lat przechodzisz dokładnie ten sam proces. Tym razem liczba jest parzysta (więc wiesz, że 2 to czynnik) i podzielna przez 10 (więc 5 i 10 to oba czynniki), co nieco ułatwia sprawę. Po ponownym przejściu procesu powinieneś zobaczyć, że współczynniki 60 to: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 i 60.

Porównanie tych dwóch list pokazuje, że 15 to największy wspólny dzielnik 45 i 60. Ta metoda może być czasochłonna, ale jest prosta i zawsze zadziała. Możesz także zacząć od dowolnego wysokiego wspólnego współczynnika, który możesz od razu zauważyć, a następnie po prostu szukać wyższych współczynników każdej liczby.

Drugą metodą znalezienia GCF dla dwóch liczb jest użycie czynników pierwszych. Proces rozkładania na czynniki pierwsze jest nieco łatwiejszy i bardziej ustrukturyzowany niż znajdowanie każdego czynnika. Przejdźmy przez proces dla 42 i 63.

Proces faktoryzacji liczb pierwszych zasadniczo polega na rozbiciu liczby, aż zostaną tylko liczby pierwsze. Najlepiej zacząć od najmniejszej liczby pierwszej (dwóch) i od niej zacząć. Tak więc dla 42 łatwo zauważyć, że 2 × 21 = 42. Następnie pracuj od 21: Czy 2 jest czynnikiem? Nie. Czy 3? Tak! 3 × 7 = 21, a 3 i 7 są liczbami pierwszymi. Oznacza to, że czynniki pierwsze liczby 42 to 2, 3 i 7. Pierwsza „przerwa” wykorzystała 2, aby dostać się do 21, a druga podzieliła to na 3 i 7. Możesz to sprawdzić, mnożąc wszystkie swoje czynniki razem i sprawdzając, czy otrzymujesz oryginalną liczbę: 2 × 3 × 7 = 42.

Dla 63 2 nie jest czynnikiem, ale 3 jest, ponieważ 3 × 21 = 63. Ponownie, 21 dzieli się na 3 i 7 – obie liczby pierwsze – więc znasz czynniki pierwsze! Sprawdzenie pokazuje, że 3 × 3 × 7 = 63, zgodnie z wymaganiami.

Najwyższy wspólny czynnik można znaleźć, sprawdzając, które czynniki pierwsze są wspólne dla tych dwóch liczb. W tym przypadku 42 ma 2, 3 i 7, a 63 ma 3, 3 i 7. Mają wspólne 3 i 7. Aby znaleźć najwyższy wspólny czynnik, pomnóż wszystkie wspólne czynniki pierwsze. W tym przypadku 3 × 7 = 21, więc 21 jest największym wspólnym dzielnikiem 42 i 63.

W ten sposób można również szybciej rozwiązać poprzedni przykład. Ponieważ 45 jest podzielne przez trzy (3 × 15 = 45), a 15 jest również podzielne przez trzy (3 × 5 = 15), czynniki pierwsze 45 wynoszą 3, 3 i 5. Dla 60 jest podzielne przez dwa (2 × 30 = 60), 30 jest również podzielne przez dwa (2 × 15 = 30), a następnie zostaje 15, o którym wiemy, że ma trzy i pięć jako czynniki pierwsze, pozostawiając 2, 2, 3 i 5. Porównując dwie listy, trzy i pięć to wspólne czynniki pierwsze, więc największy wspólny czynnik to 3 × 5 = 15.

W przypadku, gdy istnieją trzy lub więcej wspólnych czynników pierwszych, mnożysz je wszystkie razem w ten sam sposób, aby znaleźć największy wspólny czynnik.

Jeśli otrzymasz ułamek taki jak 32/96, wszelkie obliczenia, które pojawią się po nim, mogą być bardzo skomplikowane, chyba że znajdziesz sposób na uproszczenie ułamka. Znalezienie najniższego wspólnego dzielnika 32 i 96 wskaże liczbę, przez którą należy podzielić oba, aby uzyskać prostszy ułamek. W tym przypadku:

Dla 96 proces daje:

Powinno być jasne, że 2⁵ = 32 to najwyższy wspólny czynnik. Dzieląc obie części ułamka przez 32 otrzymujemy:

Podobnym procesem jest znajdowanie wspólnych mianowników. Wyobraź sobie, że musisz dodać ułamki 15/45 i 40/60. Wiemy z pierwszego przykładu, że 15 to najwyższy wspólny dzielnik 45 i 60, więc możemy od razu wyrazić je jako 5/15 i 10/15. Ponieważ 3 × 5 = 15, a oba liczniki są również podzielne przez pięć, możemy podzielić obie części obu ułamków przez pięć, aby uzyskać 1/3 i 2/3. Teraz znacznie łatwiej je dodać i to zobaczyć