Konwersja kąta (ø) na odległość (d) ma sens tylko wtedy, gdy odległość, o której mowa, znajduje się na obwodzie koła lub na powierzchni kuli. W takim przypadku użyj równania ø = d/r – gdzie r jest promieniem okręgu lub kuli. Daje to wartość w radianach, którą łatwo przeliczyć na stopnie. Jeśli znasz kąt w stopniach i chcesz obliczyć długość łuku, przelicz kąt na radiany, a następnie użyj odwrotnego wyrażenia: d = ø • r. Aby uzyskać odległość w jednostkach angielskich, promień należy wyrazić w jednostkach angielskich. Podobnie musisz wyrazić promień w jednostkach metrycznych, aby uzyskać odległość w kilometrach, metrach, centymetrach lub milimetrach.
Pomiar kątów w radianach
Radian to miara kątowa oparta na długości promienia okręgu lub kuli. Promień to linia biegnąca od środka okręgu do punktu A na jego obwodzie lub na obwodzie, jeśli jest to kula. Kiedy linia promieniowa przesuwa się z punktu A do innego punktu B na obwodzie, tworzy łuk o długości d, jednocześnie kreśląc kąt ø w punkcie środkowym okręgu.
Z definicji jeden radian to kąt, który piszesz, gdy długość łuku od punktu A do punktu B jest równa długości promienia. Ogólnie rzecz biorąc, określa się wielkość dowolnego kąta ø w radianach, dzieląc długość łuku wyznaczoną przez linie w radianach między dwoma punktami przez promień. To jest wyrażenie matematyczne: ø (radiany) = d/r. Aby to wyrażenie działało, musisz wyrazić długość łuku i promień w tych samych jednostkach.
Załóżmy na przykład, że chcesz określić kąt łuku kreślonego przez linie promieniowe rozciągające się od środka ziemi do San Francisco i Nowego Jorku. Te dwa miasta są oddalone od siebie o 2572 mile (4139 kilometrów), a promień równikowy Ziemi wynosi 3963 mile (6378 kilometrów). Możemy znaleźć kąt za pomocą jednostek metrycznych lub angielskich, o ile używamy ich konsekwentnie: 2572 mil/3963 mil = 4139 km/6378 km = 0,649 radianów.
Radiany do Stopnie
Możemy wyprowadzić prosty współczynnik do konwersji z radianów na stopnie, zauważając, że okrąg ma 360 stopni i że obwód koła ma długość 2πr. Kiedy linia promieniowa biegnie po całym okręgu, długość łuku wynosi 2πr/r = 2π, a ponieważ linia biegnie pod kątem 360 stopni, wiemy, że 360 stopni = 2π radianów. Dzieląc obie strony tego równania przez 2, otrzymujemy:
- 180 stopni = π radiany
Oznacza to, że 1 stopień = π/180 radianów i 1 radian = 180/π stopni.
Konwersja stopni na długość łuku
Potrzebujemy jednej kluczowej informacji, zanim będziemy mogli zamienić stopnie na długość łuku, a jest to promień okręgu lub kuli, na której mierzymy łuk. Kiedy już to wiemy, konwersja jest prosta. Oto dwuetapowa procedura:
- Konwersja stopni na radiany.
- Pomnóż przez promień, aby uzyskać długość łuku w tych samych jednostkach.
Jeśli znasz promień w calach i chcesz długość łuku w milimetrach, musisz najpierw przekonwertować promień na milimetry.
Przykład 50-calowego koła
W tym przykładzie chcesz określić długość łuku – w milimetrach – na obwód koła o średnicy 50 cali wyznaczony przez parę linii tworzących kąt 30 stopni.
- Zacznij od zamiany kąta na radiany. 30 stopni = 30π/180 radianów. Ponieważ π wynosi około 3,14, otrzymujemy 0,523 radianów.
- Pamiętaj, że promień koła to połowa jego średnicy. W tym przypadku r = 25 cali.
- Przelicz promień na jednostki docelowe – milimetry – używając przeliczenia 1 cal = 25,4 milimetra. Otrzymujemy 25 cali = 635 milimetrów.
- Pomnóż promień przez kąt w radianach, aby uzyskać długość łuku. 635 mm • 0,523 radianów = 332,1 mm.