Przez prawie 1000 lat matematycy badali niezwykły wzór liczb zwany ciągiem Fibonacciego. Liczby Fibonacciego nadają się do uczciwych projektów matematycznych po części dlatego, że pojawiają się tak często w świecie przyrody i dlatego są łatwe do zilustrowania.
Definiowanie ciągu Fibonacciego i złotego podziału
Pierwsze dwie liczby w ciągu Fibonacciego to zero i jeden. Każda nowa liczba w ciągu jest obliczana jako suma dwóch poprzednich liczb. Sekwencja wygląda więc tak: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 i tak dalej. Pojęciem ściśle związanym z liczbami Fibonacciego jest złoty podział. Aby zilustrować złoty podział, weź dowolne dwie sąsiednie liczby Fibonacciego i podziel przez liczbę tuż przed. Na przykład weźmy sekwencję Fibonacciego pokazaną powyżej i utwórzmy: 1/1=1; 2/1=2; 3/2=1.5; 5/3=1.666; 8/5=1,6; 13/8 = 1,625 i tak dalej. W miarę jak bierzesz coraz większe liczby w ciągu Fibonacciego, stosunek ten coraz bardziej zbliża się do wartości 1,618034. Odjęcie jednego od tej liczby pozostawia tylko część ułamkową - 0,618034 - czasami określaną grecką literą phi.
Owoce i warzywa, które ilustrują liczby Fibonacciego
Zbierz kalafior, jabłko i banana. Obserwuj, jak poszczególne różyczki kalafiora układają się w spiralne wzory. Policz i zapisz liczbę spiral. Sfotografuj kalafior, a na zdjęciu narysuj długopisem jego spirale. Pokrój jabłko na pół w poprzek i sfotografuj dwie połówki. Zanotuj i zapisz liczbę Fibonacciego na każdej połówce i prześledź każdą za pomocą długopisu na zdjęciu. Pokrój obranego banana na pół i spójrz na jego środek, aby zobaczyć liczbę Fibonacciego. Podobnie jak w przypadku jabłka, sfotografuj dwie połówki i użyj długopisu, aby obrysować liczbę.
Liczby Fibonacciego w roślinach
Rozpocznij roślinę słonecznika z nasion. Gdy roślina będzie rosła, zobaczysz, że patrząc z góry, liście pączkują w kółko. Gdy się pojawią, zmierz odległość kątową od siebie w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Zapisz kąt obrotu każdego kolejnego wschodu liści. Mierzone kąty powinny konsekwentnie wynosić około 222,5 stopnia, czyli 0,618034 razy 360 stopni. Okazuje się, że ponieważ deszcz i słońce padają na roślinę z góry, ten kąt wschodów liści zapewnia optymalne pokrycie dla słońca i wody bez blokowania liści poniżej. Twój projekt pokazuje, że idealny kąt dla wschodów liści jest zgodny ze złotym współczynnikiem — 0,618034 — lub phi.
Liczby Fibonacciego i spirale
Na kartce papieru milimetrowego narysuj dwa małe kwadraty obok siebie o długości 1. Bezpośrednio nad tymi dwoma kwadratami narysuj kolejny kwadrat o długości 2. Dolna część tego kwadratu dotyka wierzchołków dwóch kwadratów o długości-1. Na lewo od tych trzech kwadratów narysuj kolejny kwadrat o długości 3. Będzie dotykał lewej strony 2-calowego kwadratu i jednego z 1-calowych kwadratów.
Na dole tych czterech kwadratów narysuj kwadrat o długości 5. Po prawej stronie tego rosnącego szeregu kwadratów zbuduj kwadrat o długości 8. Na szczycie tej rosnącej tablicy zbuduj kwadrat o długości 13. Zauważ, że długości każdego kolejnego kwadratu to 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 -- lub ciąg Fibonacciego. Możesz skonstruować spiralę, rysując połączone ćwiartki łuków wewnątrz każdego kolejnego kwadratu. Ta spirala przypomina muszlę łodzika komorowego, a także spiralne ułożenie nasion słonecznika.