Podczas gdy angielskie słowa „sequence” i „series” mają podobne znaczenie, w matematyce są to zupełnie inne pojęcia. Sekwencja to lista liczb ułożona w określonej kolejności, a seria to suma takiej listy liczb. Istnieje wiele rodzajów ciągów, w tym te oparte na nieskończonych listach liczb. Różne sekwencje i odpowiadające im serie mają różne właściwości i mogą dawać zaskakujące wyniki.
TL; DR (zbyt długi; Nie czytałem)
Sekwencje to listy liczb ułożone w określonej kolejności według podanych reguł. Szereg odpowiadający sekwencji to suma liczb w tej sekwencji. Szereg może być arytmetyczny, co oznacza, że istnieje stała różnica między liczbami szeregu, lub geometryczny, co oznacza, że istnieje stały czynnik. Szeregi nieskończone nie mają ostatecznej liczby, ale pod pewnymi warunkami mogą mieć stałą sumę.
Rodzaje sekwencji i serii
Typowe ciągi są arytmetyczne lub geometryczne. W ciągu arytmetycznym każda liczba lub wyraz ciągu różni się od poprzedniego o taką samą wartość. Na przykład, jeśli różnica ciągu arytmetycznego wynosi 2, odpowiedni ciąg arytmetyczny może wynosić 1, 3, 5... Jeśli różnica wynosi -3, sekwencją może być 4, 1, -2... Sekwencja arytmetyczna jest określona przez numer początkowy i różnicę.
W przypadku ciągów geometrycznych terminy różnią się o czynnik. Na przykład sekwencja ze współczynnikiem 2 może mieć wartość 2, 4, 8... a sekwencja ze współczynnikiem 0,75 może wynosić 32, 24, 18... Sekwencja geometryczna jest określona przez numer początkowy i współczynnik.
Typy serii zależą od dodawanej sekwencji. Szereg arytmetyczny dodaje wyrazy ciągu arytmetycznego, a szereg geometryczny dodaje ciąg geometryczny.
Skończone i nieskończone sekwencje i serie
Sekwencje i odpowiadające im serie mogą być oparte na ustalonej liczbie terminów lub na nieskończonej liczbie. Skończony ciąg ma numer początkowy, różnicę lub współczynnik i ustaloną całkowitą liczbę składników. Na przykład pierwszy ciąg arytmetyczny powyżej z ośmioma wyrazami to 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. Pierwsza sekwencja geometryczna powyżej z sześcioma wyrazami to 2, 4, 8, 16, 32, 64. Odpowiedni szereg arytmetyczny miałby wartość 64, a szereg geometryczny 126. Nieskończone ciągi nie mają ustalonej liczby członów, a ich człony mogą rosnąć do nieskończoności, maleć do zera lub zbliżać się do ustalonej wartości. Odpowiednie serie mogą mieć również wynik nieskończony, zerowy lub stały.
Serie zbieżne i rozbieżne
Szeregi nieskończone są rozbieżne, jeśli suma zbliża się do nieskończoności wraz ze wzrostem liczby wyrazów. Szereg nieskończony jest zbieżny, jeśli jego suma zbliża się do wartości nieskończonej, takiej jak zero lub inna stała liczba. Szeregi są zbieżne, jeśli wyrazy sekwencji bazowej szybko zbliżają się do zera.
Szereg dodający wyrazy ciągu nieskończonego 1, 2, 4... jest rozbieżne, ponieważ terminy ciągu stale rosną, co pozwala sumie osiągnąć nieskończoną wartość wraz ze wzrostem liczby terminów. Seria 1, 0,5, 0,25... jest zbieżny, ponieważ terminy szybko stają się bardzo małe.
Podczas gdy ciągi są uporządkowanymi listami liczb, a szeregi są sumami, oba mogą być ważnymi narzędziami w oceniając zbiory liczb, a własności zbieżności lub dywergencji mogą mieć realne życie implikacje. Szereg rozbieżny często reprezentuje stan niestabilny, podczas gdy szereg zbieżny często oznacza, że proces lub struktura będzie stabilna.