La oss anta noen parametere før vi diskuterer tyngdepunktet. En, at du har å gjøre med et objekt som er på jordens overflate, ikke ute i rommet et sted. Og to, at gjenstanden er rimelig liten - si, ikke et romskip som er parkert på jorden og venter på å ta av. Når alle disse utenomjordiske påvirkningene er eliminert, har du en fin posisjon til å beregne tyngdepunktet for geometriske objekter ved hjelp av en relativt enkel formel - og faktisk, på grunn av disse forholdene som er satt, vil du bruke den samme formelen for å finne tyngdepunktet som for å finne messesenter.
Hvordan skrive om tyngdepunkt
Tyngdepunktet i et todimensjonalt plan er vanligvis betegnet med koordinatene (xcg, ycg) eller noen ganger av variablenexogymed en stang over dem. Begrepet "tyngdepunkt" blir også noen ganger forkortet til cg.
Hvordan beregne CG av en trekant
Lærebok for matematikk eller fysikk vil ofte ha diagrammer for å bestemme balansen i visse figurer. Men for noen vanlige geometriske former, kan du bruke passende tyngdepunktformel for å finne formens tyngdepunkt.
For trekanter sitter tyngdepunktet på det punktet der alle tre medianer krysser hverandre. Hvis du starter ved et toppunkt i trekanten og deretter trekker en rett linje til midtpunktet på den andre siden, er det en median. Gjør det samme for de to andre toppunktene, og punktet der alle tre medianer krysser hverandre er trekants tyngdepunkt.
Og selvfølgelig er det en formel for det. Hvis koordinatene til trekants tyngdepunkt er (xcg, ycg), finner du koordinatene dermed:
x_ {cg} = \ frac {x_1 + x_2 + x_3} {3} \\\ tekst {} \\ y_ {cg} = \ frac {y_1 + y_2 + y_3} {3}
Hvor (x1, y1), (x2, y2) og (x3, y3) er koordinatene til trekantens tre hjørner. Du får velge hvilket toppunkt som tildeles hvilket nummer.
Center of Gravity Formula for a Rectangle
Har du lagt merke til at for å finne tyngdepunktet for en trekant, måler du bare verdien av x-koordinatene, Gjennomsnittlig verdien av y-koordinatene, og bruk de to resultatene som koordinatene for tyngdepunktet ditt?
For å finne tyngdepunktet for et rektangel, gjør du nøyaktig det samme. Men for å gjøre beregningene enda enklere, antar du at rektangelet er orientert rett mot en kartesisk koordinatplanet (slik at det ikke er satt i en vinkel), og at det nedre venstre toppunktet er ved opprinnelsen til kurve. I så fall å finne (xcg, ycg) for et rektangel er alt du trenger å beregne:
x_ {cg} = \ frac {\ text {width}} {2} \\\ text {} \\ y_ {cg} = \ frac {\ text {height}} {2}
Hvis du ikke vil flytte rektangelet til opprinnelsen til koordinatplanet, eller hvis det av en eller annen grunn ikke er akkurat kvadratisk til koordinatakser, kan du møte denne litt skumlere utseende, men likevel effektive formelen for å gjennomsnittsgjøre alle sine x-koordinater for å finne verdien av xcg, og gjennomsnitt alle y-koordinatene for å finne verdien av ycg:
x_ {cg} = \ frac {x_1 + x_2 + x_3 + x_4} {4} \\\ tekst {} \\ y_ {cg} = \ frac {y_1 + y_2 + y_3 + y_4} {4}
Center of Gravity Equation
Hva om du trenger å beregne tyngdepunktet for en form som passer alle forutsetningene som er nevnt først (i utgangspunktet prøver du ikke å gjøre bokstavelig rakettvitenskap ved å finne tyngdepunktet for objekter ute i rommet), men det faller ikke inn i noen av kategoriene som er nevnt, eller i diagrammene på baksiden av lærebok? Deretter kan du dele formen din inn i mer kjente former, og bruke følgende ligninger for å finne deres kollektive tyngdepunkt:
x_ {cg} = \ frac {a_1x_1 + a_2x_2 +... + a_nx_n} {a_1 + a_2 +... + a_n} \\\ tekst {} \\ y_ {cg} = \ frac {a_1y_1 + a_2y_2 +... + a_ny_n} {a_1 + a_2 +... + a_n}
Eller for å si det på en annen måte, xcg tilsvarer området til seksjon 1 ganger sin plassering på x-aksen, lagt til området for seksjonen 2 ganger plasseringen, og så videre til du har lagt sammen arealet ganger plassering av alle seksjoner; del deretter hele beløpet med det totale arealet til alle seksjoner. Gjør deretter det samme for y.
Spørsmål: Hvordan finner jeg området for hver seksjon?Hvis du deler din komplekse eller uregelmessige form i mer kjente polygoner, kan du bruke standardiserte formler for å finne område. For eksempel, hvis du har delt den formen i rektangulære biter, kan du bruke formel lengde × bredde for å finne området til hvert stykke.
Spørsmål: Hva er "lokasjonen" for hver seksjon?Plasseringen av hver seksjon er den riktige koordinaten fra seksjonens tyngdepunkt. Så hvis du vil ha deg2 (stedet for segment 2), må du faktisk oppgi y-koordinaten for det segmentets tyngdepunkt. Igjen, dette er grunnen til at du deler et merkelig formet objekt inn i mer kjente former, fordi du kan bruke formler som allerede er diskutert for å finne tyngdepunktet for hver form, og deretter trekke ut riktig koordinat (s).
Spørsmål: Hvor går formen min på koordinatplanet?Du får velge hvor formen din sitter på koordinatplanet - bare husk at svarets tyngdepunkt vil være i forhold til samme referansepunkt. Det er enklest å plassere objektet i den første kvadranten i grafen din, med den nederste kanten mot x-aksen og venstre kant mot y-aksen slik at alle x- og y-verdiene er positive, men også små nok til å være overkommelig.
Triks for å finne tyngdepunktet
Hvis du har å gjøre med et enkelt objekt, er intuisjon og litt logikk noen ganger alt du trenger for å finne tyngdepunktet. For eksempel, hvis du vurderer en flat disk, vil tyngdepunktet være midten av disken. I en sylinder er det midtpunktet på sylinderaksen. For et rektangel (eller firkant) er det punktet der de diagonale linjene konvergerer.
Du har kanskje lagt merke til et mønster her: Hvis det aktuelle objektet har en symmetri linje, vil tyngdepunktet være på den linjen. Og hvis den har flere symmetriakser, vil tyngdepunktet være der disse aksene krysser hverandre.
Til slutt, hvis du prøver å finne tyngdepunktet for et virkelig komplekst objekt, har du to alternativer: Enten pisk ut de beste kalkulusintegralene (se Ressurser for en trippel integral som representerer tyngdepunktet for en ikke-ensartet masse) eller legg inn dataene dine i et spesialbygd tyngdepunkt kalkulator. (Se Ressurser for et eksempel på en tyngdepunktkalkulator for radiostyrte fly.)