Har du noen gang lurt på hvor mye vann eller kaffe som kan passe inn i en av de tilsynelatende utallige engangsvannkoppene av plast, den typen som er smalere i bunnen enn på toppen? Med andre ord, nesten hvert papir, plast eller annen engangskopp du noen gang har sett eller brukt? (For å være rettferdig, noen kopper har ikke skrånende sider og er dermed sylindriske, men dette ser bare ut til å gjelde for fast kopper.)
Formen som er beskrevet ovenfor er basert på en Kjegle, som er resultatet av en linje som feier gjennom rommet og sporer ut en buet sti som en sirkel (i det enkleste tilfellet) eller en ellips. En kopp er vanligvis ikke spiss (noen som inneholder frosne godbiter er), men det er fortsatt et "stykke" av en kjegle, geometrisk sett. Det gjør det enkelt, med tålmodighet, å finne volumet.
Volumet av en kjegle
Formelen for volumet av en vanlig, eller høyre, kjegle (det vil si en med en sirkulær base) er
V = \ frac {1} {3} πr ^ 2h
Hvor r er radiusen til basen og h er høyden på kjeglen. Siden siden ser en høyre kjegle ut som to høyre trekanter plassert sammen, lengden
s av den skrånende siden av kjeglen har samme verdi som hypotenusen til en av disse trekantene. Det er således gitt ved å anvende den pythagoreiske setningen: r2 + h2 = s2, sås = \ sqrt {r ^ 2 + h ^ 2}
Volumet av en konisk kopp: Del en
Si at du har en kopp som er 8 centimeter (cm) bred i bunnen, 10 cm bred på toppen og 15 cm høy. Hvor mye væske kan den holde i cm3, også kalt milliliter (ml)?
En måte å nærme seg dette problemet på er å tegne et tverrsnitt av koppen, det vil si hvordan det ser ut fra siden etter å ha blitt kuttet nøyaktig i to vinkelrett på synsfeltet. Hvis du tegner vertikale linjer oppover fra de to punktene der basen møter sidene til toppen av koppen, har du nå delt tverrsnittet i to like, reflekterte høyre trekanter og a rektangel. Trekantene har lange "ben" på 15 cm og korte "ben" på 1 cm (deler forskjellen mellom basisbredde og toppbredde).
Volumet av en konisk kopp: Del to
Legg merke til hva som skjer hvis du strekker sidene av koppen i diagrammet ned til et punkt under bunnen. Forleng også en linje opp fra midten av toppen mot det punktet disse linjene konvergerer mot. (Du har kanskje ikke plass til å få sidene til å møtes og danne en lukket trekant, men kom så nær du kan,)
På grunn av prinsippet om lignende trekanter, vet du at forholdet mellom trekantenes lange ben ovenfra (15 cm) og forholdet til det lille benet (1 cm) eller 15 til 1, må være det samme som forholdet mellom det lille benet og det lange benet på en av de nyopprettede trekanter mellom bunnen av "koppen" og punkt. Siden det lille beinet har en verdi på 4 cm, må det lange benet være 15 ganger dette, eller 60 cm.
Dermed har du nå å gjøre med tverrsnittet av en kjegle med en total høyde på 15 + 60 = 75 cm og en bredde på 10 cm, som betyr en radius på 5 cm. Volumet på denne kjeglen minus volumet på kjeglen som strekker seg opp til bunnen av koppen, som har en høyde på 60 cm og en bredde på 8 cm (r = 4 cm) gir ønsket resultat:
\ begin {align} \ frac {1} {3} × π × 5 ^ 2 × 75 = 1963.5 \ text {mL} \\ \ frac {1} {3} × π × 4 ^ 2 × 60 = 1005.3 \ text {mL} \\ 1963.5 - 1005.3 = 958.2 \ text {mL} \ end {justert}
Dermed holder koppen deg veldig nær 1 liter (1000 ml) væske.
Kalk- og koppvolumkalkulator
Se ressursene for en liste over kalkulatorer som involverer kjegler gitt forskjellige innledende kombinasjoner av informasjon. Alternativt kan du bruke en slik tilnærming ovenfor og dele koppen opp i forskjellige former, og deretter bruke den enklere formler (for eksempel formelen for volumet av en kube) i passende kombinasjoner for å finne totalen volum.