Prosjektil bevegelserefererer til bevegelsen til en partikkel som er formidlet med en starthastighet, men som deretter blir utsatt for ingen krefter i tillegg til tyngdekraften.
Dette inkluderer problemer der en partikkel kastes i en vinkel mellom 0 og 90 grader mot det horisontale, hvor det horisontale vanligvis er bakken. For enkelhets skyld antas disse prosjektilene å reise i (x, y) fly, medxsom representerer horisontal forskyvning ogyvertikal forskyvning.
Banen som tas av et prosjektil blir referert til som densbane. (Merk at den vanlige lenken i "prosjektil" og "bane" er stavelsen "-jekt," det latinske ordet for "kaste." Å kaste ut noen er bokstavelig talt å kaste ham ut.) Opprinnelsespunktet til prosjektilet i problemer der du trenger å beregne banen antas vanligvis å være (0, 0) for enkelhets skyld med mindre annet er oppgitt.
Banen til et prosjektil er en parabel (eller i det minste sporer en del av en parabel) hvis partikkelen blir lansert på en slik måte som har en ikke-null horisontal bevegelseskomponent, og det er ingen luftmotstand som kan påvirke partikkel.
De kinematiske ligningene
Variablene av interesse i bevegelsen til en partikkel er dens posisjonskoordinaterxogy, dens hastighetv, og dens akselerasjonen, alt i forhold til en gitt forløpt tidtsiden starten av problemet (når partikkelen lanseres eller frigjøres). Merk at utelatelse av masse (m) innebærer at tyngdekraften på jorden virker uavhengig av denne størrelsen.
Legg også merke til at disse ligningene ignorerer luftmotstandens rolle, noe som skaper en motstandskraft motsatt bevegelse i virkelige jordssituasjoner. Denne faktoren blir introdusert i mekanikkkurs på høyere nivå.
Variabler som får tegnet "0" refererer til verdien av den mengden på tidspunktett= 0 og er konstanter; ofte er denne verdien 0 takket være det valgte koordinatsystemet, og ligningen blir så mye enklere. Akselerasjon behandles som konstant i disse problemene (og er i y-retning og lik -g,eller–9,8 m / s2akselerasjonen på grunn av tyngdekraften nær jordens overflate).
Horisontal bevegelse:
x = x_0 + v_xt
- Begrepet
vxer konstant x-hastighet.
Vertikal bevegelse:
y = y_0 + ((v_ {0y} + v_y) / 2) t \\ v_y = v_ {0y} -gt \\ y = y_0 + v_ {0y} t- (1/2) gt ^ 2 \\ v_y ^ 2 = v_ {0y} ^ 2-2g (y-y_0)
Eksempler på prosjektilbevegelse
Nøkkelen til å kunne løse problemer som inkluderer baneberegninger er å vite at de horisontale (x) og vertikale (y) komponentene til bevegelse kan analyseres separat, som vist ovenfor, og deres respektive bidrag til samlet bevegelse pent oppsummert på slutten av problem.
Prosjektilbevegelsesproblemer teller som fritt fallproblemer, uansett hvordan ting ser ut rett etter tidt= 0, den eneste kraften som virker på den bevegelige gjenstanden er tyngdekraften.
- Vær oppmerksom på at fordi tyngdekraften virker nedover, og dette antas å være den negative y-retningen, er verdien av akselerasjon -g i disse ligningene og problemene.
Baneberegninger
1. De raskeste kannene i baseball kan kaste en ball i litt over 100 miles i timen, eller 45 m / s. Hvis en ball kastes loddrett oppover i denne hastigheten, hvor høy vil den bli og hvor lang tid vil det ta å gå tilbake til det punktet hvor den ble sluppet?
Hervy0= 45 m / s, -g= –9,8 m / s, og mengdene av interesse er den ultimate høyden, ellery,og den totale tiden tilbake til jorden. Total tid er en todelt beregning: tid opp til y, og tid tilbake til y0 = 0. For den første delen av problemet,vy,når ballen når topphøyden, er 0.
Start med å bruke ligningenvy2= v0y2 - 2g (y - y0)og plugge inn verdiene du har:
0 = (45) ^ 2 - (2) (9.8) (y - 0) = 2.025 - 19.6y \ antyder y = 103.3 \ tekst {m}
Ligningenvy = v0y - gtviser at tiden t dette tar er (45 / 9,8) = 4,6 sekunder. For å få total tid, legg denne verdien til tiden det tar før ballen faller fritt til utgangspunktet. Dette er gitt avy = y0 + v0yt - (1/2) gt2, hvor nå, fordi ballen fortsatt er i øyeblikket før den begynner å stupe,v0y = 0.
Løsning:
103.3 = (1/2) gt ^ 2 \ innebærer t = 4.59 \ text {s}
Dermed er den totale tiden 4,59 + 4,59 = 9,18 sekunder. Det kanskje overraskende resultatet at hvert "bein" av turen, opp og ned, tok samme tid understreker det faktum at tyngdekraften er den eneste kraften som spilles her.
2. Områdesligningen:Når et prosjektil blir lansert med en hastighetv0og en vinkel θ fra det horisontale, har den innledende horisontale og vertikale hastighetskomponenterv0x = v0(cos θ) ogv0y = v0(synd θ).
Fordivy = v0y - gt, ogvy = 0 når prosjektilet når sin maksimale høyde, blir tiden til maksimal høyde gitt av t =v0y/g. På grunn av symmetri, vil tiden det tar å komme tilbake til bakken (eller y = y0) er ganske enkelt 2t = 2v0y/g.
Til slutt, å kombinere disse med forholdet x =v0xt, er den horisontale tilbakelagte avstanden gitt en startvinkel θ
R = 2 \ frac {v_0 ^ 2 \ sin {\ theta} \ cos {\ theta}} {g} = \ frac {v_0 ^ 2 \ sin {2 \ theta}} {g}
(Det siste trinnet kommer fra den trigonometriske identiteten 2 sinθ ⋅ cosθ = sin 2θ.)
Siden sin2θ har sin maksimale verdi på 1 når θ = 45 grader, maksimerer bruk av denne vinkelen den horisontale avstanden for en gitt hastighet ved
R = \ frac {v_0 ^ 2} {g}