Når du begynner å løse algebraiske ligninger som involverer polynomer, blir muligheten til å gjenkjenne spesielle, lett fakturerte former for polynomer veldig nyttig. En av de mest nyttige "easy-factor" polynomene å få øye på er den perfekte firkanten, eller trinomialet som er et resultat av kvadrering av et binomium. Når du har identifisert et perfekt firkant, er det ofte en viktig del av problemløsingsprosessen å ta det med i de enkelte komponentene.
Før du kan faktorisere et perfekt kvadratisk trinomial, må du lære å gjenkjenne det. Et perfekt firkant kan ha en av to former
a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 \ text {, som er produktet av} (a + b) (a + b) = (a + b) ^ 2 \\ a ^ 2 - 2ab + b ^ 2 \ text {, som er produktet av} (a - b) (a - b) = (a - b) ^ 2
Sjekk første og tredje termer i trinomialet. Er de begge firkanter? Hvis ja, finn ut hva de er firkanter av. For eksempel i det andre "virkelige verden" eksemplet gitt ovenfor:
y ^ 2 - 2y + 1
begrepety2 er åpenbart kvadratet avy.Begrepet 1 er, kanskje mindre åpenbart, kvadratet på 1, fordi 12 = 1.
Multipliser røttene til første og tredje periode sammen. For å fortsette eksemplet, det eryog 1, som gir degy × 1 = 1yeller rett og sletty.
Deretter multipliserer du produktet med 2. Fortsetter du eksemplet, har du 2y.
Til slutt, sammenlign resultatet av det siste trinnet med polynomets mellomperiode. Passer de sammen? I polynomety2 – 2y+ 1, det gjør de. (Tegnet er irrelevant; det ville også være en kamp hvis mellomperioden var +2y.)
Fordi svaret i trinn 1 var "ja" og resultatet ditt fra trinn 2 samsvarer med polynomets mellomperiode, vet du at du ser på et perfekt kvadratisk trinomial.
Når du vet at du ser på et perfekt kvadratisk trinomial, er prosessen med å faktorisere det ganske grei.
Identifiser røttene, eller tallene i kvadrat, i første og tredje termer av trinomialet. Tenk på et annet av dine eksempel på trinomialer som du allerede vet er et perfekt kvadrat:
x ^ 2 + 8x + 16
Åpenbart er tallet som er kvadrat i første periodex. Antallet som ble kvadrert i tredje periode er 4, fordi 42 = 16.
Tenk tilbake på formlene for perfekte firkantede trinomials. Du vet at faktorene dine vil ha enten form (en + b)(en + b) eller skjemaet (en – b)(en – b), hvorenogbblir tallene kvadrert i første og tredje periode. Så du kan skrive ut faktorene dine slik, ved å utelate tegnene midt i hver periode for nå:
(a \,? \, b) (a \,? \, b) = a ^ 2 \,? \, 2ab + b ^ 2
For å fortsette eksemplet ved å erstatte røttene til ditt nåværende trinomial, har du:
(x \,? \, 4) (x \,? \, 4) = x ^ 2 + 8x + 16
Sjekk mellomperioden for trinomialet. Har det et positivt eller negativt tegn (eller, for å si det på en annen måte, blir det lagt til eller trukket)? Hvis det har et positivt tegn (eller blir lagt til), har begge faktorene i trinomial et plusstegn i midten. Hvis det har et negativt tegn (eller blir trukket), har begge faktorene et negativt tegn i midten.
Midtbegrepet i det nåværende eksemplet trinomial er 8x- det er positivt - så du har nå tenkt på det perfekte firkantede trinomialet:
(x + 4) (x + 4) = x ^ 2 + 8x + 16
Sjekk arbeidet ditt ved å multiplisere de to faktorene sammen. Påføring av FOIL eller første, ytre, indre, siste metode gir deg:
x ^ 2 + 4x + 4x + 16
Å forenkle dette gir resultatetx2 + 8x+ 16, som samsvarer med trinnet ditt. Så faktorene stemmer.