Det er en viktig stor forskjell mellom å finne den vertikale asymptoten i grafen til en rasjonell funksjon, og å finne et hull i grafen til den funksjonen. Selv med de moderne grafiske kalkulatorene vi har, er det veldig vanskelig å se eller identifisere at det er et hull i grafen. Denne artikkelen viser hvordan du kan identifisere både analytisk og grafisk.
Vi vil bruke en gitt rasjonell funksjon som et eksempel for å vise analytisk hvordan du finner en vertikal asymptote og et hull i grafen til den funksjonen. La den rasjonelle funksjonen være,... f (x) = (x-2) / (x² - 5x + 6).
Faktorisering av nevneren til f (x) = (x-2) / (x² - 5x + 6). Vi får følgende ekvivalent Funksjon, f (x) = (x-2) / [(x-2) (x-3)]. Nå hvis nevneren (x-2) (x-3) = 0, vil den rasjonelle funksjonen være udefinert, det vil si tilfellet Divisjon av null (0). Se artikkelen 'Hvordan dele på null (0)', skrevet av samme forfatter, Z-MATH.
Vi vil merke at divisjon etter null bare er udefinert hvis det rasjonelle uttrykket har en teller som ikke er lik null (0), og nevneren er lik null (0), i dette tilfellet vil grafen til funksjonen gå uten grenser mot positiv eller negativ uendelig verdi på x som får nevnerens uttrykk til å være lik null. Det er ved denne xen vi tegner en vertikal linje, kalt The Vertical Asymptote.
Nå hvis telleren og nevneren av det rasjonelle uttrykket begge er null (0), for den samme verdien av x, så Divisjon med null på denne verdien av x sies å være 'meningsløs' eller ubestemt, og vi har et hull i grafen til denne verdien av x.
Så, i den rasjonelle funksjonen f (x) = (x-2) / [(x-2) (x-3)], ser vi at ved x = 2 eller x = 3 er nevneren lik null (0 ). Men ved x = 3 legger vi merke til at telleren er lik (1), det vil si f (3) = 1/0, derav en vertikal asymptote ved x = 3. Men ved x = 2 har vi f (2) = 0/0, 'meningsløs'. Det er et hull i grafen ved x = 2.
Vi kan finne koordinatene til hullet ved å finne en ekvivalent rasjonell funksjon til f (x), som har alle de samme punktene på f (x) bortsett fra på punktet ved x = 2. Det vil si at la g (x) = (x-2) / [(x-2) (x-3)], x ≠ 2, så ved å redusere til laveste vilkår har vi g (x) = 1 / (x- 3). Ved å erstatte x = 2 får vi denne funksjonen g (2) = 1 / (2-3) = 1 / (- 1) = -1. så hullet i grafen til f (x) = (x-2) / (x² - 5x + 6), er på (2, -1).
Ting du trenger
- Papir og
- Blyant.
