Ligningen til et plan i et tredimensjonalt rom kan skrives i algebraisk notasjon som ax + av + cz = d, hvor minst en av reelle tallkonstantene "a", "b" og "c" må ikke være null, og "x", "y" og "z" representerer aksene til det tredimensjonale flyet. Hvis det gis tre poeng, kan du bestemme planet ved hjelp av vektorkorsprodukter. En vektor er en linje i rommet. Et kryssprodukt er multiplikasjonen av to vektorer.
Få de tre punktene på flyet. Merk dem "A", "B" og "C." Anta for eksempel at disse punktene er A = (3, 1, 1); B = (1, 4, 2); og C = (1, 3, 4).
Finn to forskjellige vektorer på flyet. I eksemplet velger du vektorer AB og AC. Vector AB går fra punkt A til punkt B, og vektor AC går fra punkt A til punkt C. Så trekk hver koordinat i punkt A fra hver koordinat i punkt B for å få vektor AB: (-2, 3, 1). På samme måte er vektor AC punkt-C minus punkt-A, eller (-2, 2, 3).
Beregn korsproduktet til de to vektorene for å få en ny vektor, som er normal (eller vinkelrett eller ortogonal) til hver av de to vektorene og også til planet. Tverrproduktet til to vektorer, (a1, a2, a3) og (b1, b2, b3), er gitt av N = i (a2b3 - a3b2) + j (a3b1 - a1b3) + k (a1b2 - a2b1). I eksemplet er tverrproduktet, N, av AB og AC i [(3 x 3) - (1 x 2)] + j [(1 x -2) - (-2 x 3)] + k [( -2 x 2) - (3x - 2)], som forenkler til N = 7i + 4j + 2k. Merk at “i”, “j” og “k” brukes til å representere vektorkoordinater.
Utled ligningen til flyet. Ligningen til planet er Ni (x - a1) + Nj (y - a2) + Nk (z - a3) = 0, hvor (a1, a2, a3) er et hvilket som helst punkt i planet og (Ni, Nj, Nk ) er den normale vektoren, N. I eksemplet, med punkt C, som er (1, 3, 4), er ligningen på planet 7 (x - 1) + 4 (y - 3) + 2 (z - 4) = 0, som forenkler å 7x - 7 + 4y - 12 + 2z - 8 = 0, eller 7x + 4y + 2z = 27.
Bekreft svaret ditt. Erstatt de opprinnelige punktene for å se om de tilfredsstiller ligningen til flyet. For å avslutte eksemplet, hvis du erstatter et av de tre punktene, vil du se at ligningen til planet virkelig er tilfredsstilt.
Tips
Se Ressurser for tips om hvordan du bruker systemer med tre samtidige ligninger for å finne ligningen til et plan.