Å løse ulikheter i absolutt verdi er omtrent som å løse absoluttverdilikninger, men det er et par ekstra detaljer å huske på. Det hjelper å allerede være komfortabel med å løse absoluttverdilikninger, men det er greit hvis du lærer dem også!
Definisjon av absolutt verdi ulikhet
Først av alt, enabsolutt verdi ulikheter en ulikhet som innebærer et absolutt verdiuttrykk. For eksempel,
| 5 + x | - 10> 6
er en absolutt verdiulikhet fordi den har et ulikhetstegn,> og et absolutt verdiuttrykk | 5 +x |.
Hvordan løse en absolutt verdiulikhet
Detrinn for å løse en absolutt verdiulikheter omtrent som trinnene for å løse en absolutt verdiligning:
Trinn 1:Isoler det absolutte verdiuttrykket på den ene siden av ulikheten.
Steg 2:Løs den positive "versjonen" av ulikheten.
Trinn 3:Løs den negative "versjonen" av ulikheten ved å multiplisere mengden på den andre siden av ulikheten med −1 og snu ulikhetstegnet.
Det er mye å ta inn samtidig, så her er et eksempel som vil lede deg gjennom trinnene.
Løs ulikheten forx:
| 5 + 5x | - 3> 2
For å gjøre dette, få | 5 + 5x| av seg selv på venstre side av ulikheten. Alt du trenger å gjøre er å legge til 3 på hver side:
| 5 + 5x | - 3 + 3> 2 + 3 \\ | 5 + 5x | > 5.
Nå er det to "versjoner" av ulikheten vi trenger å løse: den positive "versjonen" og den negative "versjonen."
For dette trinnet antar vi at ting er slik de ser ut: at 5 + 5x > 5.
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x> 5
Dette er en enkel ulikhet; du må bare løse forxsom vanlig. Trekk 5 fra begge sider, og del deretter begge sider med 5.
\ begynn {justert} & 5 + 5x> 5 \\ & 5 + 5x - 5> 5-5 \ quad \ text {(trekk fem fra begge sider)} \\ & 5x> 0 \\ & 5x (÷ 5)> 0 (÷ 5) \ quad \ text {(del begge sider med fem)} \\ & x> 0 \ end {justert}
Ikke verst! Så en mulig løsning på ulikheten vår er atx> 0. Nå, siden det er absolutte verdier involvert, er det på tide å vurdere en annen mulighet.
For å forstå dette neste, hjelper det å huske hva absolutt verdi betyr.Absolutt verdimåler et talls avstand fra null. Avstand er alltid positiv, så 9 er ni enheter unna null, men −9 er også ni enheter unna null.
Så | 9 | = 9, men | −9 | = 9 også.
Nå tilbake til problemet ovenfor. Arbeidet ovenfor viste at | 5 + 5x| > 5; med andre ord, den absolutte verdien av "noe" er større enn fem. Nå vil ethvert positivt tall større enn fem være lenger unna null enn fem er. Så det første alternativet var at "noe", 5 + 5x, er større enn 5.
Det er:
5 + 5x> 5
Det er scenariet som ble tatt opp ovenfor, i trinn 2.
Tenk nå litt lenger. Hva annet er fem enheter unna null? Vel, negativ fem er. Og alt lenger langs tallinjen fra negativ fem kommer til å være enda lenger borte fra null. Så vårt "noe" kan være et negativt tall som er lenger borte fra null enn minus fem. Det betyr at det ville være et større lydnummer, men tekniskmindre ennnegativ fem fordi den beveger seg i negativ retning på tallinjen.
Så vårt "noe", 5 + 5x, kan være mindre enn -5.
5 + 5x
Den raske måten å gjøre dette algebraisk på er å multiplisere mengden på den andre siden av ulikheten, 5, med negativ, og snu deretter ulikhetstegnet:
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x
Løs så som vanlig.
\ begin {justert} & 5 + 5x
Så de to mulige løsningene på ulikheten erx> 0 ellerx< −2. Sjekk deg selv ved å koble til noen få mulige løsninger for å sikre at ulikheten fortsatt gjelder.
Absolutte ulikheter uten verdi
Det er et scenario der det ville væreingen løsninger på en absolutt verdiulikhet. Siden absolutte verdier alltid er positive, kan de ikke være lik eller mindre enn negative tall.
Så |x| ingen løsningfordi resultatet av et absolutt verdiuttrykk må være positivt.
Intervallnotasjon
Å skrive løsningen til vårt hovedeksempel iintervallnotasjon, tenk på hvordan løsningen ser ut på tallinjen. Løsningen vår varx> 0 ellerx< −2. På en tallinje er det en åpen prikk ved 0, med en linje som strekker seg ut til positiv uendelig, og en åpen prikk ved -2, med en linje som strekker seg bort til negativ uendelig. Disse løsningene peker bort fra hverandre, ikke mot hverandre, så ta hvert stykke separat.
For x> 0 på en tallinje er det en åpen prikk på null og deretter en linje som strekker seg ut til uendelig. I intervallnotasjon er en åpen prikk illustrert med parenteser, (), og en lukket prikk, eller ulikheter med ≥ eller ≤, vil bruke parenteser, []. Så forx> 0, skriv (0, ∞).
Den andre halvdelen,x
"Eller" i intervallnotasjon er unionstegnet, ∪.
Så løsningen i intervallnotasjon er
( −∞, −2) ∪ (0, ∞)