En av de viktigste operasjonene du gjør i beregning er å finne derivater. Derivatet til en funksjon kalles også endringshastigheten til den funksjonen. For eksempel, hvis x (t) er posisjonen til en bil når som helst t, så er derivatet av x, som er skrevet dx / dt, bilens hastighet. Derivatet kan også visualiseres som hellingen til en linje som tangerer grafen til en funksjon. På teoretisk nivå er det slik matematikere finner derivater. I praksis bruker matematikere sett med grunnleggende regler og oppslagstabeller.
Derivatet som en skråning
Skråningen til en linje mellom to punkter er stigningen, eller forskjellen i y-verdiene delt på løpeturen, eller forskjellen i x-verdier. Skråningen til en funksjon y (x) for en bestemt verdi av x er definert som skråningen til en linje som er tangent til funksjonen ved punktet [x, y (x)]. For å beregne skråningen konstruerer du en linje mellom punktet [x, y (x)] og et nærliggende punkt [x + h, y (x + h)], hvor h er et veldig lite tall. For denne linjen er løp eller endring i x-verdi h, og økning, eller endring i y-verdi, er y (x + h) - y (x). Følgelig er hellingen til y (x) ved punktet [x, y (x)] omtrent lik [y (x + h) - y (x)] / [(x + h) - x] = [y ( x + h) - y (x)] / h. For å få hellingen nøyaktig, beregner du verdien av skråningen når h blir mindre og mindre, til "grensen" der den går til null. Skråningen beregnet på denne måten er derivatet av y (x), som skrives som y ’(x) eller dy / dx.
Derivatet av en kraftfunksjon
Du kan bruke helling / grense-metoden for å beregne derivater av funksjoner der y er lik x til kraften til a, eller y (x) = x ^ a. For eksempel, hvis y er lik kubikk, y (x) = x ^ 3, så er dy / dx grensen når h går til null på [(x + h) ^ 3 - x ^ 3] / h. Utvidelse (x + h) ^ 3 gir [x ^ 3 + 3x ^ 2h + 3xh ^ 2 + h ^ 3 - x ^ 3] / h, noe som reduseres til 3x ^ 2 + 3xh ^ 2 + h ^ 2 etter at du deler av h. I grensen når h går til null, går alle ord som har h i seg også til null. Så, y ’(x) = dy / dx = 3x ^ 2. Du kan gjøre dette for verdier som er andre enn 3, og generelt kan du vise at d / dx (x ^ a) = (a - 1) x ^ (a-1).
Avledet fra en Power Series
Mange funksjoner kan skrives som det som kalles en kraftserie, som er summen av et uendelig antall termer, hvor hver har formen C (n) x ^ n, hvor x er en variabel, n er et helt tall og C (n) er et spesifikt tall for hver verdi av n. For eksempel er kraftserien for sinusfunksjonen Sin (x) = x - x ^ 3/6 + x ^ 5/120 - x ^ 7/5040 +..., hvor "..." betyr termer som fortsetter på til uendelig. Hvis du kjenner kraftserien for en funksjon, kan du bruke derivatet av kraften x ^ n til å beregne funksjonens derivat. For eksempel er derivatet av Sin (x) lik 1 - x ^ 2/2 + x ^ 4/24 - x ^ 6/720 +..., som tilfeldigvis er kraftserien for Cos (x).
Derivater fra tabeller
Derivatene av grunnleggende funksjoner som krefter som x ^ a, eksponensielle funksjoner, loggfunksjoner og trig-funksjoner, blir funnet ved hjelp av helling / grense-metoden, kraftseriemetoden eller andre metoder. Disse derivatene er deretter oppført i tabeller. For eksempel kan du slå opp at derivatet av Sin (x) er Cos (x). Når komplekse funksjoner er kombinasjoner av de grunnleggende funksjonene, trenger du spesielle regler som kjederegel og produktregel, som også er gitt i tabellene. For eksempel bruker du kjederegelen for å finne ut at derivatet av Sin (x ^ 2) er 2xCos (x ^ 2). Du bruker produktregelen for å finne ut at derivatet av xSin (x) er xCos (x) + Sin (x). Ved å bruke tabeller og enkle regler kan du finne avledningen til hvilken som helst funksjon. Men når en funksjon er ekstremt kompleks, tyr forskere noen ganger til dataprogrammer for å få hjelp.