Noen ganger er det nødvendig å finne en ikke-null-vektor som, når den multipliseres med en kvadratmatrise, vil gi oss tilbake et multiplum av vektoren. Denne ikke-nullvektoren kalles en "egenvektor." Eigenvektorer er ikke bare av interesse for matematikere, men for andre innen yrker som fysikk og ingeniørfag. For å beregne dem, må du forstå matrisealgebra og determinanter.
Lær og forstå definisjonen av en "egenvektor." Det er funnet for en n x n kvadratmatrise A og også en skalar egenverdi kalt "lambda." Lambda er representert med den greske bokstaven, men her vil vi forkorte den til L. Hvis det er en ikke-null vektor x hvor Ax = Lx, kalles denne vektoren en "egenverdi av A."
Finn egenverdiene til matrisen ved å bruke den karakteristiske ligningen det (A - LI) = 0. "Det" står for determinanten, og "jeg" er identitetsmatrisen.
Beregn egenvektoren for hver egenverdi ved å finne et egenrom E (L), som er nullrommet til den karakteristiske ligningen. Ikke-nullvektorene til E (L) er egenvektorene til A. Disse blir funnet ved å koble egenvektorene tilbake til den karakteristiske matrisen og finne et grunnlag for A - LI = 0.
Beregn egenverdiene ved bruk av den karakteristiske ligningen. Det (A - LI) er (3 - L) (3 - L) --1 = L ^ 2 - 6L + 8 = 0, som er det karakteristiske polynomet. Å løse dette algebraisk gir oss L1 = 4 og L2 = 2, som er egenverdiene til matrisen vår.
Finn egenvektoren for L = 4 ved å beregne nullområdet. Gjør dette ved å plassere L1 = 4 i den karakteristiske matrisen og finne grunnlaget for A - 4I = 0. Å løse dette, finner vi x - y = 0, eller x = y. Dette har bare en uavhengig løsning siden de er like, for eksempel x = y = 1. Derfor er v1 = (1,1) en egenvektor som spenner over egenområdet til L1 = 4.
Gjenta trinn 6 for å finne egenvektoren for L2 = 2. Vi finner x + y = 0, eller x = --y. Dette har også en uavhengig løsning, si x = --1 og y = 1. Derfor er v2 = (--1,1) en egenvektor som spenner over egenområdet til L2 = 2.