Ingenting ødelegger en ligning som logaritmer. De er tungvint, vanskelige å manipulere og litt mystiske for noen mennesker. Heldigvis er det en enkel måte å kvitte seg med disse irriterende matematiske uttrykkene. Alt du trenger å gjøre er å huske at en logaritme er den omvendte av en eksponent. Selv om basen til en logaritme kan være et hvilket som helst tall, er de vanligste basene som brukes i vitenskapen 10 og e, som er et irrasjonelt tall kjent som Eulers nummer. For å skille dem bruker matematikere "logg" når basen er 10 og "ln" når basen er e.
TL; DR (for lang; Leste ikke)
For å kvitte seg med en ligning av logaritmer, løft begge sider til samme eksponent som basen til logaritmene. I ligninger med blandede termer, samle alle logaritmene på den ene siden og forenkle først.
Hva er en logaritme?
Konseptet med logaritme er enkelt, men det er litt vanskelig å sette ord på. En logaritme er antall ganger du må multiplisere et tall med seg selv for å få et annet tall. En annen måte å si det på er at en logaritme er kraften som et bestemt tall - kalt basen - må heves til for å få et annet tall. Kraften kalles logaritmens argument.
Logg for eksempel82 = 64 betyr ganske enkelt at å heve 8 til kraften til 2 gir 64. I ligningsloggen x = 100, basen forstås som 10, og du kan enkelt løse for argumentet, x fordi det svarer på spørsmålet, "10 hevet til hvilken kraft tilsvarer 100?" Svaret er 2.
En logaritme er den omvendte av en eksponent. Ligningsloggen x = 100 er en annen måte å skrive 10_ påx_ = 100. Dette forholdet gjør det mulig å fjerne logaritmer fra en ligning ved å heve begge sider til samme eksponent som basen til logaritmen. Hvis ligningen inneholder mer enn en logaritme, må de ha samme base for at dette skal fungere.
Eksempler
I det enkleste tilfellet tilsvarer logaritmen til et ukjent nummer et annet tall:
\ logg x = y
Hev begge sider til eksponenter på 10, så får du
10 ^ {\ log x} = 10 ^ y
Siden 10(logg x) er rett og slett xblir ligningen
x = 10 ^ y
Når alle begrepene i ligningen er logaritmer, vil det å heve begge sider til en eksponent gi et standard algebraisk uttrykk. For eksempel heve
\ log (x ^ 2 - 1) = \ log (x + 1)
til en effekt på 10, og du får:
x ^ 2 - 1 = x + 1
som forenkler til
x ^ 2 - x - 2 = 0.
Løsningene er x = −2; x = 1.
I ligninger som inneholder en blanding av logaritmer og andre algebraiske termer, er det viktig å samle alle logaritmene på den ene siden av ligningen. Du kan deretter legge til eller trekke fra termer. I følge logaritmeloven gjelder følgende:
\ log x + \ log y = \ log (xy) \\ \, \\ \ log x - \ log y = \ log \ bigg (\ frac {x} {y} \ bigg)
Her er en prosedyre for å løse en ligning med blandede termer:
Start med ligningen: For eksempel
\ log x = \ log (x - 2) + 3
Omorganisere vilkårene:
\ log x - \ log (x - 2) = 3
Bruk logaritmeloven:
\ log \ bigg (\ frac {x} {x-2} \ bigg) = 3
Løft begge sider til en styrke på 10:
\ bigg (\ frac {x} {x-2} \ bigg) = 10 ^ 3
Løs for x:
\ bigg (\ frac {x} {x-2} \ bigg) = 10 ^ 3 \\ x = 1000x - 2000 \\ -999x = -2000 \\ x = \ frac {2000} {999} = 2.002