En normal kurve er navnet på grafen til standard normal sannsynlighetsfordeling, som det er hva folk snakker om (ofte uten å vite det) når de nevner en "bjelkekurve" som viser hvor mennesker eller andre variabler står i forhold til et populasjonsgjennomsnitt eller gjennomsnitt.
En normal normalkurve gir både en visuell og en numerisk fremstilling av hvordan en gitt variabel fordeles over en populasjon når virkelige situasjon representert av funksjonen er kjent for å ha en symmetrisk fordeling i populasjonen av interesse (derav "bjelle" form). Dette kan inkludere IQ eller høyde hos menn, som er like sannsynlig å variere mot den ene siden av gjennomsnittet som den er for den andre, og det vil sannsynligvis også variere med samme størrelse.
Alle normale kurver og tilhørende data har visse attributter til felles som tillater generering av numeriske tabeller som muliggjør løsning av arealverdier i stedet for mer komplekse matematiske beregninger.
Standard normalfordeling
I enhver normalfordeling faller, per definisjon, i underkant av 68 prosent av datapunktene innenfor ett standardavvik fra gjennomsnittet av befolkningen eller populasjonsutvalget. Cirka 95 prosent ligger innenfor to standardavvik, og 99,9 prosent ligger innenfor tre standardavvik.
Hvert standardavviksmerke tildeles et heltall om gjennomsnittet (f.eks. -3, -2, 1, 1, 2, 3) og tildeles variabel z. Denne verdien, eller z-poengsummen, kan også ta på seg ikke-heltallverdier (f.eks. -2,58).
Z-score brukes til å bestemme sannsynligheten for at en hendelse skal skje innenfor et spesifisert mulighetsområde. Hvis du for eksempel blir fortalt at gjennomsnittet og standardavviket for IQ (intelligenskvotient) er 100 og 20 poeng, noe som gjør z = 0 for IQ = 100 og z = 1.0 for IQ = 120, og blir bedt om å gi sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person vil ha en IQ på 140 eller høyere, bruker du en z-tabell for å komme frem til en løsning.
Området under den normale kurven
I de fleste tilfeller i matematikk blir området under kurven til grafen til en ligning funnet ved å manipulere ligningens unike elementer direkte, for eksempel ved å integrere kurven mellom x-koordinatene til renter. Med den normale kurven ser du i stedet opp enten ett eller to tall på en tabell som heter z-verdier, og utfører om nødvendig et subtraksjonstrinn.
Arealet under hele normalkurven, uansett dens presise form, tildeles verdien 1.0. Alle delområder under normalkurve er altså desimaltall mellom 0 og 1 og kan enkelt konverteres til prosent ved å multiplisere dem med 100.
Z-tabeller tillater avlesninger opp til den hundreplassen av poengsummen for å gi områder til fire eller fem signifikante sifre. Dette gjøres ved å få tiendeplassen på venstre akse og deretter lese over riktig rad for å få hundreplassen.
- Dette forklarer hvorfor andelen av området til venstre for z = -2,58 er .00494.
Normalfordeling: Område mellom to punkter
Anta at i en test med et gjennomsnitt på 80 og et standardavvik på 10, vil du vite hvilken prosentandel av studentene som hadde score mellom 65 og 85.
Du vil starte med å finne øvre og nedre z-score. Dette gjøres ved å trekke gjennomsnittet fra den øvre grensen og dele med standardavviket: (85 - 80) / 10 = 0,50. Du finner deretter nedre grense på samme måte: (65 - 80) / 10 -1,50.
Nå kan du tilordne områdeverdier til disse z-score ved å referere til tabellen. Disse verdiene er 0,68916 for z = 0,5 og 0,06681 for z = 1,5. Hvert av disse områdene representerer området under kurven fra venstre "hale" til den aktuelle x-verdien, så for området mellom de to punktene x = 65 og x = 85 trekker du den minste verdien fra den største for å få 0.63135.
Dermed kunne 63,1 prosent av poengene forventes å falle innenfor området 65 til 85 gitt et standardavvik på 10 i en normalfordeling.