Alle matematikkstudenter og mange naturfagstudenter møter polynomer på et eller annet tidspunkt i løpet av studiene, men heldigvis er de enkle å takle når du lærer det grunnleggende. De viktigste operasjonene du trenger å gjøre med polynomiske uttrykk er å legge til, trekke fra, multiplisere og deling, og selv om deling kan være kompleks, vil du som oftest kunne håndtere det grunnleggende letthet.
Polynomer: definisjon og eksempler
Polynom beskriver et algebraisk uttrykk med en eller flere termer som involverer en variabel (eller mer enn en), med eksponenter og muligens konstanter. De kan ikke inkludere divisjon med en variabel, kan ikke ha negative eller brøkdelte eksponenter og må ha et endelig antall termer.
Dette eksemplet viser et polynom:
x ^ 3 + 2 x ^ 2 - 9 x - 4
Og dette viser en annen:
xy ^ 2 - 3 x + y
Det er mange måter å klassifisere polynomier på, inkludert etter grad (summen av eksponentene på den høyeste maktperioden, f.eks. 3 i første eksempel) og med antall ord de inneholder, for eksempel monomaler (ett begrep), binomaler (to termer) og trinomialer (tre vilkår).
Legge til og trekke fra polynomer
Å legge til og trekke fra polynomer er avhengig av å kombinere "like" termer. Et lignende begrep er ett med de samme variablene og eksponentene som en annen, men tallet de multipliseres med (koeffisienten) kan være forskjellig. For eksempel,x2 og 4x 2 er som termer fordi de har samme variabel og eksponent, og 2xy 4 og 6xy 4 er som vilkår også. Derimot,x2, x3, x2y2 ogy2 er ikke som termer, fordi hver inneholder forskjellige kombinasjoner av variabler og eksponenter.
Legg til polynomer ved å kombinere like termer på samme måte som du ville gjort med andre algebraiske termer. Se for eksempel på problemet:
(x ^ 3 + 3 x) + (9 x ^ 3 + 2 x + y)
Samle inn like vilkår for å få:
(x ^ 3 + 9 x ^ 3) + (3 x + 2 x) + y
Og evaluer deretter ved å bare legge sammen koeffisientene og kombinere dem i et enkelt begrep:
10 x ^ 3 + 5 x + y
Merk at du ikke kan gjøre noe medyfordi det ikke har noe lignende begrep.
Subtraksjon fungerer på samme måte:
(4 x ^ 4 + 3 y ^ 2 + 6 y) - (2 x ^ 4 + 2 y ^ 2 + y)
Vær først oppmerksom på at alle begrepene i høyre brakett er trukket fra de i venstre brakett, så skriv det som:
4 x ^ 4 + 3 y ^ 2 + 6 y - 2 x ^ 4 - 2 y ^ 2- y
Kombiner like vilkår og evaluer for å få:
(4 x ^ 4 - 2 x ^ 4) + (3 y ^ 2 - 2 y ^ 2) + (6 y - y) = 2 x ^ 4 + y ^ 2 + 5 y
For et problem som dette:
(4 xy + x ^ 2) - (6 xy - 3 x ^ 2)
Legg merke til at minustegnet brukes på hele uttrykket i høyre parentes, så de to negative tegnene før 3x2 bli et tilleggstegn:
(4 xy + x ^ 2) - (6 xy - 3 x ^ 2) = 4 xy + x ^ 2-6 xy + 3 x ^ 2
Beregn så som før.
Multiplisere polynomiske uttrykk
Multipliser polynomiske uttrykk ved å bruke den fordelende egenskapen til multiplikasjon. Kort sagt, multipliser hvert begrep i første polynom med hvert begrep i det andre. Se på dette enkle eksemplet:
4 x × (2 x ^ 2 + y)
Du løser dette ved hjelp av fordelingsegenskapen, så:
\ begin {justert} 4 x × (2 x ^ 2 + y) & = (4 x × 2 x ^ 2) + (4 x × y) \\ & = 8 x ^ 3 + 4 xy \ end {justert}
Takle mer kompliserte problemer på samme måte:
\ begin {justert} (2 y ^ 3 + 3 x) × & (5 x ^ 2 + 2 x) \\ & = (2 y ^ 3 × (5 x ^ 2 + 2 x)) + (3 x × (5 x ^ 2 + 2 x)) \\ & = (2 y ^ 3 × 5 x ^ 2) + (2 y ^ 3 × 2 x) + (3 x × 5 x ^ 2) + (3 x × 2 x) \\ & = 10 y ^ 3x ^ 2 + 4 y ^ 3x + 15 x ^ 3 + 6 x ^ 2 \ end {justert}
Disse problemene kan bli kompliserte for større grupperinger, men den grunnleggende prosessen er fortsatt den samme.
Dele polynomiske uttrykk
Å dele polynomiske uttrykk tar lengre tid, men du kan takle det trinnvis. Se på uttrykket:
\ frac {x ^ 2 - 3 x - 10} {x + 2}
Skriv først uttrykket som en lang divisjon, med divisoren til venstre og utbyttet til høyre:
x + 2) \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10}
Del den første perioden i utbyttet med den første perioden i divisoren, og legg resultatet på linjen over divisjonen. I dette tilfellet,x2 ÷ x = x, så:
\ begin {align} & x \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \ end {align}
Multipliser dette resultatet med hele divisoren, så i dette tilfellet, (x + 2) × x = x2 + 2 x. Sett dette resultatet under divisjonen:
\ begin {align} & x \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \ end {align}
Trekk resultatet på den nye linjen fra vilkårene rett over den (merk at du teknisk endrer tegnet, så hvis du hadde et negativt resultat, vil du legge det til i stedet), og legg dette på en linje under det. Flytt den siste perioden fra det opprinnelige utbyttet også.
\ begynn {justert} & x \\ x + 2) & \ overlinje {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \ slutt {justert}
Gjenta nå prosessen med divisoren og det nye polynomet på bunnlinjen. Så del delingsdelens første periode (x) innen første utbytteperiode (−5x) og legg dette over:
\ begynn {justert} & x -5 \\ x + 2) & \ overlinje {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \ slutt {justert}
Multipliser dette resultatet (-5x ÷ x= −5) av den opprinnelige deleren (så (x + 2) × −5 = −5 x−10) og legg resultatet på en ny bunnlinje:
\ begynn {justert} & x -5 \\ x + 2) & \ overlinje {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \\ & -5 x - 10 \ slutt {justert}
Deretter trekker du bunnlinjen fra neste opp (så i dette tilfellet endre tegnet og legg til), og legg resultatet på en ny bunnlinje:
\ begynn {justert} & x -5 \\ x + 2) & \ overlinje {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \\ & -5 x - 10 \\ & 0 \ quad 0 \ end {align}
Siden det nå er en rad med nuller nederst, er prosessen ferdig. Hvis det ikke var gjenstander uten null, vil du gjenta prosessen igjen. Resultatet er på topplinjen, så:
\ frac {x ^ 2 - 3 x - 10} {x + 2} = x - 5
Denne divisjonen og noen andre kan løses enklere hvis du kan faktor polynom i utbyttet.