Når du først ble introdusert for ligningssystemer, har du sannsynligvis lært å løse et system med to-variabelligninger ved å tegne graf. Men å løse ligninger med tre eller flere variabler krever et nytt sett med triks, nemlig teknikkene for eliminering eller substitusjon.
Velg hvilken som helst av ligningene og kombiner dem for å eliminere en av variablene. I dette eksemplet vil legging av ligning nr. 1 og ligning 2 avbryteyvariabel, slik at du får følgende nye ligning:
Ny ligning nr. 1:
7x - 2z = 12
Gjenta trinn 1, denne gangen kombinerer du enannerledessett med to ligninger, men eliminering avsammevariabel. Vurder ligning nr. 2 og ligning nr. 3:
Ligning nr. 2:
5x - y - 5z = 2
Ligning # 3:
x + 2y - z = 7
I dette tilfelletyvariabel avbryter seg ikke umiddelbart. Så før du legger til de to ligningene sammen, multipliserer du begge sider av ligning 2 med 2. Dette gir deg:
Ligning nr. 2 (modifisert):
10x - 2y - 10z = 4
Ligning # 3:
x + 2y - z = 7
Nå 2yvilkår vil avbryte hverandre, og gi deg en ny likning:
Ny ligning 2:
11x - 11z = 11
Kombiner de to nye ligningene du opprettet, med målet om å eliminere enda en variabel:
Ny ligning nr. 1:
7x - 2z = 12
Ny ligning 2:
11x - 11z = 11
Ingen variabler avbryter seg ennå, så du må endre begge ligningene. Multipliser begge sider av den første nye ligningen med 11, og multipliser begge sider av den andre nye ligningen med −2. Dette gir deg:
Ny ligning nr. 1 (modifisert):
77x - 22z = 132
Ny ligning 2 (modifisert):
-22x + 22z = -22
Legg til begge ligningene sammen og forenkle, noe som gir deg:
x = 2
Nå som du vet verdien avx, kan du erstatte den i de opprinnelige ligningene. Dette gir deg:
Substituert ligning nr. 1:
y + 3z = 6
Substituert ligning nr. 2:
-y - 5z = -8
Substituert ligning nr. 3:
2y - z = 5
Velg hvilken som helst av de nye ligningene, og kombiner dem for å eliminere en av variablene. I dette tilfellet blir det å legge til substituert ligning nr. 1 og substituert ligning nr. 2yavbryte pent. Etter forenkling har du:
z = 1
Erstatt verdien fra trinn 5 i en av de substituerte ligningene, og løs deretter den gjenværende variabelen,y.Vurder substituert ligning nr. 3:
Substituert ligning nr. 3:
2y - z = 5
Erstatter i verdien forzgir deg 2y- 1 = 5, og løse forybringer deg til:
y = 3
Så løsningen for dette ligningssystemet erx = 2, y= 3 ogz = 1.
Merk at begge metodene for å løse ligningssystemet førte deg til samme løsning: (x = 2, y = 3, z= 1). Sjekk arbeidet ditt ved å erstatte denne verdien i hver av de tre ligningene.