Når du begynner med tre ligninger og tre ukjente (variabler), tror du kanskje du har nok informasjon til å løse for alle variablene. Men når du løser et system med lineære ligninger ved hjelp av eliminasjonsmetoden, kan du oppdage at systemet er ikke tilstrekkelig bestemt på å finne ett unikt svar, og i stedet er det et uendelig antall løsninger mulig. Dette skjer når informasjonen i en av ligningene i systemet er overflødig med informasjonen i de andre ligningene.
Et 2x2-eksempel
3x + 2y = 5 6x + 4y = 10 Dette ligningssystemet er tydelig overflødig. Du kan lage en ligning fra den andre ved å bare multiplisere med en konstant. Med andre ord, de formidler den samme informasjonen. Til tross for at det er to ligninger for de to ukjente, x og y, kan ikke løsningen på dette systemet begrenses til en verdi for x og en verdi for y. (x, y) = (1,1) og (5 / 3,0) løser begge det, i likhet med mange flere løsninger. Dette er den slags "problem", denne mangelen på informasjon, som også fører til et uendelig antall løsninger i større ligningssystemer.
Et 3x3 eksempel
x + y + z = 10 x-y + z = 0 x _ + _ z = 5 [Understreker brukes bare for å opprettholde avstand.] Ved eliminasjonsmetoden, eliminere x fra andre rad ved å trekke den andre raden fra den første, og gi x + y + z = 10 _2y= 10 x_ +z = 5 Fjern x fra tredje rad ved å trekke den tredje raden fra den første. x + y + z = 10 _2y=10 y= 5 De to siste ligningene er helt klart ekvivalente. y er lik 5, og den første ligningen kan forenkles ved å eliminere y. x + 5 + z = 10 y __ = 5 eller x + z = 5 y = 5 Merk at eliminasjonsmetoden ikke vil gi en fin trekantet form her, som den gjør når det er en unik løsning. I stedet vil den siste ligningen (om ikke mer) i seg selv bli absorbert i de andre ligningene. Systemet har nå tre ukjente og bare to ligninger. Systemet kalles "underbestemt", fordi det ikke er nok ligninger til å bestemme verdien av alle variablene. Et uendelig antall løsninger er mulig.
Hvordan skrive den uendelige løsningen
Den uendelige løsningen for ovennevnte system kan skrives i form av en variabel. En måte å skrive den på er (x, y, z) = (x, 5,5-x). Siden x kan få et uendelig antall verdier, kan løsningen få et uendelig antall verdier.