Få ting slår frykt inn i begynnelsen algebra student som å se eksponenter - uttrykk somy2, x3 eller til og med det forferdeligeyx- dukker opp i ligninger. For å løse ligningen, må du på en eller annen måte få disse eksponentene til å forsvinne. Men i sannhet er den prosessen ikke så vanskelig når du lærer en rekke enkle strategier, hvorav de fleste er forankret i de grunnleggende aritmetiske operasjonene du har brukt i årevis.
Forenkle og kombinere like vilkår
Noen ganger, hvis du er heldig, har du kanskje eksponentvilkår i en ligning som avbryter hverandre. Tenk for eksempel på følgende ligning:
y + 2x ^ 2-5 = 2 (x ^ 2 + 2)
Med et godt øye og litt øvelse kan du oppdage at eksponentbetingelsene faktisk avbryter hverandre, således:
Når du har forenklet høyre side av eksempelligningen, ser du at du har identiske eksponentuttrykk på begge sider av likhetstegnet:
y + 2x ^ 2 - 5 = 2x ^ 2 + 4
Trekk 2x2 fra begge sider av ligningen. Fordi du utførte den samme operasjonen på begge sider av ligningen, har du ikke endret verdien. Men du har effektivt fjernet eksponenten og etterlatt deg med:
y - 5 = 4
Hvis ønskelig, kan du fullføre løsningen av ligningen foryved å legge til 5 på begge sider av ligningen, og gi deg:
y = 9
Ofte vil ikke problemer være så enkle, men det er fortsatt en mulighet det er verdt å se etter.
Se etter muligheter å faktorere
Med tid, øvelse og mange matematikktimer samler du formler for å ta hensyn til visse typer polynomer. Det er mye som å samle verktøy som du oppbevarer i en verktøykasse til du trenger dem. Trikset er å lære å identifisere hvilke polynomer som lett kan beregnes. Her er noen av de vanligste formlene du kan bruke, med eksempler på hvordan du bruker dem:
Hvis ligningen din inneholder to kvadratiske tall med et minustegn mellom dem - for eksempelx2 − 42 - du kan faktorisere dem ved hjelp av formelenen2 − b2 = (a + b) (a - b). Hvis du bruker formelen på eksemplet, polynometx2 − 42 faktorer til (x + 4)(x − 4).
Trikset her er å lære å gjenkjenne kvadratiske tall selv om de ikke er skrevet som eksponenter. For eksempel eksemplet påx2 − 42 er mer sannsynlig å bli skrevet somx2 − 16.
Hvis ligningen din inneholder to kuberte tall som legges sammen, kan du faktorisere dem ved hjelp av formelen
a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2 - ab + b ^ 2)
Tenk på eksemplet påy3 + 23, som du er mer sannsynlig å se skrevet somy3 + 8. Når du erstatteryog 2 inn i formelen forenogbhenholdsvis har du:
(y + 2) (y ^ 2 - 2y + 2 ^ 2)
Åpenbart er ikke eksponenten helt borte, men noen ganger er denne typen formler et nyttig, mellomliggende skritt mot å bli kvitt den. For eksempel kan fakturering dermed i telleren til en brøk opprette vilkår som du deretter kan avbryte med vilkår fra nevneren.
Hvis ligningen din inneholder to kuberte tall med entrukketfra den andre kan du faktorisere dem ved hjelp av en formel som er veldig lik den som er vist i forrige eksempel. Faktisk er plasseringen av minustegnet den eneste forskjellen mellom dem, da formelen for kubeforskjellen er:
a ^ 3 - b ^ 3 = (a - b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2)
Tenk på eksemplet påx3 − 53, som mer sannsynlig ville bli skrevet somx3 − 125. Erstatterxtilenog 5 forb, du får:
(x - 5) (x ^ 2 + 5 x + 5 ^ 2)
Som før, selv om dette ikke eliminerer eksponenten helt, kan det være et nyttig mellomtrinn underveis.
Isolere og bruke en radikal
Hvis ingen av de ovennevnte triksene fungerer, og du bare har ett begrep som inneholder en eksponent, kan du bruke den vanligste metoden for å "bli kvitt av "eksponenten: Isoler eksponentuttrykket på den ene siden av ligningen, og bruk deretter den aktuelle radikalen på begge sider av ligning. Tenk på eksemplet på
z ^ 3-25 = 2
Isoler eksponentuttrykket ved å legge til 25 på begge sider av ligningen. Dette gir deg:
z ^ 3 = 27
Indeksen til roten du bruker - det vil si det lille oppskriftstallet før det radikale tegnet - skal være den samme som eksponenten du prøver å fjerne. Så fordi eksponentuttrykket i eksemplet er en kube eller tredje kraft, må du bruke en kuberrot eller tredje rot for å fjerne den. Dette gir deg:
\ sqrt [3] {z ^ 3} = \ sqrt [3] {27}
Noe som igjen forenkler til:
z = 3