Hvordan løse kubiske ligninger

Å løse polynomfunksjoner er en nøkkelferdighet for alle som studerer matematikk eller fysikk, men å få tak i prosessen - spesielt når det gjelder funksjoner av høyere orden - kan være ganske utfordrende. En kubisk funksjon er en av de mest utfordrende typene polynomligning du måtte løse for hånd. Selv om det kanskje ikke er like greit som å løse en kvadratisk ligning, er det et par metoder du kan bruke til å finne løsningen på en kubisk ligning uten å bruke sider og sider med detaljerte algebra.

En kubisk funksjon er et tredje graders polynom. En generell polynomfunksjon har formen:

Her, x er variabelen, n er rett og slett hvilket som helst tall (og graden av polynomet), k er en konstant og de andre bokstavene er konstante koeffisienter for hver kraft av x. Så en kubikkfunksjon har n = 3, og er ganske enkelt:

Hvor i dette tilfellet, d er det konstante. Generelt sett vil du bli presentert for det når du må løse en kubisk ligning i form:

Hver løsning for x kalles en "rot" av ligningen. Kubiske ligninger har enten en ekte rot eller tre, selv om de kan gjentas, men det er alltid minst en løsning.

Ligningstypen er definert av den høyeste effekten, så i eksemplet ovenfor vil det ikke være en kubisk ligning hvis a = 0, fordi den høyeste maktperioden ville være bx² og det ville være en kvadratisk ligning. Dette betyr at følgende er alle kubiske ligninger:

Den enkleste måten å løse en kubisk ligning innebærer litt gjetning og en algoritmisk type prosess som kalles syntetisk divisjon. Starten er imidlertid i utgangspunktet den samme som prøve- og feilmetoden for kubiske ligningsløsninger. Prøv å finne ut hva en av røttene er ved å gjette. Hvis du har en ligning der den første koeffisienten, en, er lik 1, så er det litt lettere å gjette en av røttene, fordi de alltid er faktorer av det konstante begrepet som er representert ovenfor av d.

Så, for eksempel å se på følgende ligning:

Du må gjette en av verdiene for x, men siden en = 1 i dette tilfellet vet du at uansett hvilken verdi det er, må det være en faktor på 24. Den første slike faktoren er 1, men dette vil etterlate:

1 – 5 – 2 + 24 = 18

Som ikke er null, og −1 vil forlate:

−1 – 5 + 2 + 24 = 20

Som igjen ikke er null. Neste, x = 2 vil gi:

8 – 20 – 4 + 24 = 8

Nok en feil. Prøver x = −2 gir:

−8 – 20 + 4 + 24 = 0

Dette betyr x = −2 er en rot av den kubiske ligningen. Dette viser fordeler og ulemper ved prøving og feiling: Du kan få svaret uten mye tenkt, men det er tidkrevende (spesielt hvis du må gå til høyere faktorer før du finner en rot). Heldigvis, når du har funnet en rot, kan du enkelt løse resten av ligningen.

Nøkkelen er å innlemme faktorsetningen. Dette sier at hvis x = s er en løsning, deretter (x – s) er en faktor som kan trekkes ut av ligningen. For denne situasjonen, s = −2, og så (x + 2) er en faktor vi kan trekke ut for å forlate:

Begrepene i den andre gruppen av parenteser har form av en kvadratisk ligning, så hvis du finner de riktige verdiene for en og b, ligningen kan løses.

Dette kan oppnås ved hjelp av syntetisk inndeling. Først skriver du ned koeffisientene til den opprinnelige ligningen på den øverste raden i en tabell, med en skillelinje og deretter den kjente roten til høyre:

Legg igjen en ekstra rad, og legg deretter til en vannrett linje under den. Først tar du det første tallet (1 i dette tilfellet) ned til raden under den horisontale linjen

Multipliser nå tallet du nettopp har brakt ned med den kjente roten. I dette tilfellet er 1 × −2 = −2, og dette skrives nedenfor neste nummer i listen, som følger:

Deretter legger du til tallene i den andre kolonnen og legger resultatet under den vannrette linjen:

Gjenta nå prosessen du nettopp har vært gjennom med det nye nummeret under den horisontale linjen: Multipliser med rot, legg svaret i det tomme rommet i neste kolonne, og legg deretter til kolonnen for å få et nytt nummer på nederste rad. Dette etterlater:

Og så gå gjennom prosessen en siste gang.

Det at det siste svaret er null, forteller deg at du har en gyldig rot, så hvis dette ikke er null, har du gjort en feil et sted.

Nå forteller den nederste raden faktorene til de tre begrepene i det andre settet med parenteser, slik at du kan skrive:

Og så:

Dette er den viktigste fasen i løsningen, og du kan fullføre fra dette punktet og utover på mange måter.

Når du har fjernet en faktor, kan du finne en løsning ved hjelp av faktorisering. Fra trinnet ovenfor er dette i utgangspunktet det samme problemet som å faktorisere en kvadratisk ligning, som i noen tilfeller kan være utfordrende. Imidlertid for uttrykket:

Hvis du husker at de to tallene du setter i parentesene, må du legge til for å gi den andre koeffisienten (7) og multiplisere for å gi den tredje (12), er det ganske enkelt å se at i dette tilfellet:

Du kan multiplisere dette for å sjekke, hvis du vil. Ikke føl deg motløs hvis du ikke kan se faktoriseringen med en gang; det tar litt øvelse. Dette etterlater den opprinnelige ligningen som:

Som du umiddelbart kan se har løsninger på x = −2, 3 og 4 (som alle er faktorer på 24, den opprinnelige konstanten). I teorien kan det også være mulig å se hele faktoriseringen fra den opprinnelige versjonen av ligningen, men dette er mye mer utfordrende, så det er bedre å finne en løsning fra prøving og feiling og bruke fremgangsmåten ovenfor før du prøver å få øye på en faktorisering.

Hvis du sliter med å se faktoriseringen, kan du bruke den kvadratiske ligningsformelen:

For å finne de gjenværende løsningene.

Selv om det er mye større og mindre enkelt å håndtere, er det en enkel kubisk ligningsløser i form av den kubiske formelen. Dette er som den kvadratiske ligningsformelen ved at du bare skriver inn verdiene dine en, b, c og d for å få en løsning, men er bare mye lenger.

Det heter at:

hvor

og

Å bruke denne formelen er tidkrevende, men hvis du ikke vil bruke prøve- og feilmetoden for kubiske ligningsløsninger og deretter den kvadratiske formelen, fungerer dette når du går gjennom det hele.