Typer av algebraligninger

Det er fem hovedtyper av algebraiske ligninger, preget av variablers posisjon, typer operatører og funksjoner som brukes, og oppførselen til grafene deres. Hver type ligning har forskjellig forventet inngang og produserer en utgang med forskjellig tolkning. Forskjellene og likhetene mellom de fem typene algebraiske ligninger og bruken av dem viser mangfoldet og kraften til algebraiske operasjoner.

Monomialer og polynomer er ligninger som består av variable termer med hele antall eksponenter. Polynomier er klassifisert etter antall termer i uttrykket: Monomialer har ett begrep, binomaler har to begreper, trinomialer har tre begreper. Ethvert uttrykk med mer enn ett begrep kalles et polynom. Polynomier er også klassifisert etter grad, som er tallet på den høyeste eksponenten i uttrykket. Polynomer med grader en, to og tre kalles henholdsvis lineære, kvadratiske og kubiske polynomer. Ligningen x ^ 2 - x - 3 kalles en kvadratisk trinomial. Kvadratiske ligninger forekommer ofte i algebra I og II; grafen deres, kjent som en parabel, beskriver lysbuen sporet av et prosjektil som er avfyrt i luften.

Eksponensielle ligninger skiller seg fra polynomer ved at de har variable termer i eksponentene. Et eksempel på en eksponentiell ligning er y = 3 ^ (x - 4) + 6. Eksponensielle funksjoner klassifiseres som eksponentiell vekst hvis den uavhengige variabelen har en positiv koeffisient og eksponensiell forfall hvis den har en negativ koeffisient. Eksponensielle vekstligninger brukes til å beskrive spredning av populasjoner og sykdommer samt økonomiske begreper som sammensatt rente (formelen for sammensatt rente er Pe ^ (rt), hvor P er hovedstolen, r er renten og t er beløpet av tid). Eksponensielle forfallsligninger beskriver fenomener som radioaktivt forfall.

Logaritmiske funksjoner er omvendt av eksponensielle funksjoner. For ligningen y = 2 ^ x er den inverse funksjonen y = log2 x. Loggbasen b for et tall x er lik eksponenten du må heve b for å få tallet x. For eksempel er log2 på 16 4 fordi 2 til 4. kraft er 16. Det transcendentale tallet "e" er mest brukt som den logaritmiske basen; logaritmebasen e kalles ofte den naturlige logaritmen. Logaritmiske ligninger brukes i mange typer intensitetsskalaer, slik som Richters skala for jordskjelv og desibel skala for lydintensitet. Decibelskalaen bruker en loggbase 10, noe som betyr at en økning på en desibel tilsvarer en tidobling av lydintensiteten.

Rasjonelle ligninger er algebraiske ligninger av formen p (x) / q (x), hvor p (x) og q (x) begge er polynomer. Et eksempel på en rasjonell ligning er (x - 4) / (x ^ 2 - 5x + 4). Rasjonelle ligninger er bemerkelsesverdige for å ha asymptoter, som er verdier på y og x som grafen til ligningen nærmer seg, men aldri når. En vertikal asymptote av en rasjonell ligning er en x-verdi som grafen aldri når - y-verdien går enten til positiv eller negativ uendelig når verdien av x nærmer seg asymptoten. En horisontal asymptote er en y-verdi som grafen nærmer seg når x går til positiv eller negativ uendelig.

Trigonometriske ligninger inneholder de trigonometriske funksjonene sin, cos, tan, sec, csc og cot. Trigonometriske funksjoner beskriver forholdet mellom to sider av en rett trekant, og tar vinkelmålet som inngang eller uavhengig variabel og forholdet som utgang eller avhengig variabel. For eksempel beskriver y = sin x forholdet mellom en rett trekants motsatte side og hypotenusen for en målevinkel x. Trigonometriske funksjoner er forskjellige ved at de er periodiske, noe som betyr at grafen gjentas etter en viss tid. Grafen til en standard sinusbølge har en periode på 360 grader.