I matematikk er en funksjon en prosess du bruker på en uavhengig variabelxfor å få den avhengige variabeleny. Hvis du tenker på det som å "gå fra" dinxå ankomme diny, går en omvendt funksjon motsatt vei, fra resultatet tilbake til den opprinnelige verdien. På en måte er en omvendt funksjon det motsatte av originalen, og "angrer" prosessen.
TL; DR (for lang; Leste ikke)
En omvendt av en matematisk funksjon reverserer rollene tilyogxi den opprinnelige funksjonen.
Funksjoner og inverser
Matematikere definerer en funksjon som en prosess eller regel som genererer de ordnede parene i et sett. Du kan tenke på det første medlemmet av paret somxav funksjonen, og det andre medlemmet somy. I en ekte funksjon har den første verdien bare en løsningsverdi som følger med den. Så hverxverdien har bare en tilsvarendeyverdi. Så, ligningen for den horisontale linjen,y= 1 er en funksjon, men den vertikale linjen,x= 1 er ikke.
Tegn en graf
Grafen til en funksjon og dens inverse er refleksjoner av hverandre, med en linje som representerer
y = xfungerer som "speil". For å ta et eksempel, er grafen for den naturlige logaritmefunksjonen, ln (x), starter ved negativ uendelig påyakse og rett til høyre for null påxakser. Derfra krysser denxaksen på punktet, (1,0) og har en svakt stigende kurve overxakser. Dens inverse, den naturlige eksponentfunksjonen exp (x), harx-akse som sin asymptote, med utgangspunkt i negativ uendelig påxaksen, like over den. Den krysseryakse ved (0,1) og kurver sterkt oppover. Tegn de to funksjonene på en graf, og tegn deretter linjeny = x, og du vil se at exp (x) og ln (x) speile hverandre.Sine og Cosine
Selv om sinus- og cosinusfunksjonene er relatert, er den ene ikke den omvendte av den andre. Sinus- og cosinusfunksjonene gir lignende grafiske resultater, selv om cosinus "fører" sinus 90 grader. Dessuten er cosinus derivat av sinus. Imidlertid er den inverse av sinusfunksjonen buesengen, og den omvendte av cosinus er arkkosinen.
Finne en omvendt funksjon
Det er relativt enkelt å finne det motsatte av mange funksjoner: Bytt "y”Og”x”I ligningen, og deretter løse fory. Tenk for eksempel på ligningen
y = 2x + 4
Bytter y forxgir
x = 2y + 4
Trekk 4 fra begge sider for å få
x - 4 = 2y
og del deretter begge sider med 2 for å få
\ frac {x} {2} - 2 = y
som er den omvendte funksjonen.
Inverse ikke-funksjoner
Ikke alle inverser av funksjoner er også funksjoner. Husk at definisjonen av funksjoner sier at hverxhar bare enyverdi. Selv om buesine er det motsatte av sinusfunksjonen, er ikke buesine teknisk sett en funksjon, somxverdier har uendelig mange tilsvarendeyverdier. Det er også sant med
y = x ^ 2 \ text {og} y = \ sqrt {x}
den første er en funksjon, og den andre er dens inverse, men kvadratroten gir to tilsvarendeyverdier, positive og negative, noe som gjør det til en ekte funksjon.