Algebra innebærer ofte forenkling av uttrykk, men noen uttrykk er mer forvirrende å håndtere enn andre. Komplekse tall involverer mengden kjent somJeg, et "imaginært" nummer med eiendommenJeg= √−1. Hvis du bare trenger å uttrykke et komplekst tall, kan det virke skremmende, men det er ganske enkelt når du lærer deg de grunnleggende reglene.
TL; DR (for lang; Leste ikke)
Forenkle komplekse tall ved å følge reglene for algebra med komplekse tall.
Hva er et komplekst nummer?
Komplekse tall er definert av deres inkludering avJegbegrep, som er kvadratroten til minus en. I grunnleggende matematikk eksisterer ikke kvadratrøtter med negative tall egentlig, men de vises av og til i algebraproblemer. Den generelle formen for et komplekst tall viser strukturen:
z = a + bi
Hvorzmerker det komplekse nummeret,enrepresenterer et hvilket som helst tall (kalt "ekte" delen), ogbrepresenterer et annet tall (kalt den "imaginære" delen), som begge kan være positive eller negative. Så et eksempel på et komplekst tall er:
z = 2 −4i
Siden alle kvadratrøtter av negative tall kan representeres av multipler avJeg, dette er skjemaet for alle komplekse tall. Teknisk sett beskriver et vanlig nummer bare et spesielt tilfelle av et komplekst nummer hvorb= 0, så alle tall kan betraktes som komplekse.
Grunnleggende regler for algebra med komplekse tall
For å legge til og trekke komplekse tall, bare legg til eller trekk fra de virkelige og imaginære delene hver for seg. Så for komplekse tallz = 2 – 4Jegogw = 3 + 5Jeg, summen er:
\ begynn {justert} z + w & = (2-4i) + (3 + 5i) \\ & = (2 + 3) + (-4 + 5) i \\ & = 5 + 1i \\ & = 5 + jeg \ slutt {justert}
Å trekke fra tallene fungerer på samme måte:
\ begin {justert} z- w & = (2 - 4i) - (3 + 5i) \\ & = (2-3) + (-4 - 5) i \\ & = -1 -9i \ end {justert }
Multiplikasjon er en annen enkel operasjon med komplekse tall, fordi den fungerer som vanlig multiplikasjon, bortsett fra at du må huske detJeg2 = −1. Så for å beregne 3Jeg × −4Jeg:
3i × -4i = -12i ^ 2
Men sidenJeg2= −1, deretter:
-12i ^ 2 = -12 × -1 = 12
Med kompliserte komplette tall (ved hjelp avz = 2 – 4Jegogw = 3 + 5Jegigjen) multipliserer du dem på samme måte som du ville gjort med vanlige tall som (en + b) (c + d), ved å bruke “første, indre, ytre, siste” (FOIL) -metoden, for å gi (en + b) (c + d) = ac + bc + annonse + bd. Alt du trenger å huske er å forenkle forekomster avJeg2. Så for eksempel:
\ begin {justert} z × w & = (2 -4i) (3 + 5i) \\ & = (2 × 3) + (-4i × 3) + (2 × 5i) + (−4i × 5i) \ \ & = 6-12i + 10i - 20i ^ 2 \\ & = 6 -2i + 20 \\ & = 26 + 2i \ end {aligned}
Deler komplekse tall
Å dele komplekse tall innebærer å multiplisere teller og nevner av brøkdelen med det komplekse konjugatet av nevneren. Komplekskonjugatet betyr bare versjonen av det komplekse nummeret med den imaginære delen omvendt i tegnet. Så forz = 2 – 4Jeg, det komplekse konjugatetz = 2 + 4Jeg, og forw = 3 + 5Jeg, w = 3 −5Jeg. For problemet:
\ frac {z} {w} = \ frac {2 -4i} {3 + 5i}
Konjugatet som trengs erw*. Del teller og nevner med dette for å gi:
\ frac {z} {w} = \ frac {(2 -4i) (3 -5i)} {(3 + 5i) (3-5i)}
Og så jobber du deg gjennom som i forrige avsnitt. Telleren gir:
\ begin {justert} (2 -4i) (3 -5i) & = 6 -12i- 10i + 20i ^ 2 \\ & = -14-22i \ slutt {justert}
Og nevneren gir:
\ begin {justert} (3 + 5i) (3-5i) & = 9 + 15i - 15i -25i ^ 2 \\ & = 9 + 25 \\ & = 34 \ slutt {justert}
Dette betyr:
\ begin {align} \ frac {z} {w} & = \ frac {-14 - 22i} {34} \\ \, \\ & = \ frac {-14} {34} - \ frac {22i} { 34} \\ \, \\ & = \ frac {-7} {17} - \ frac {11i} {17} \ end {aligned}
Forenkle komplekse tall
Bruk reglene ovenfor etter behov for å forenkle komplekse uttrykk. For eksempel:
z = \ frac {(4 + 2i) + (2 -i)} {(2 + 2i) (2+ i)}
Dette kan forenkles ved å bruke tilleggsregelen i telleren, multiplikasjonsregelen i nevneren, og deretter fullføre divisjonen. For telleren:
(4 + 2i) + (2 - i) = 6 + i
For nevneren:
\ begynn {justert} (2 + 2i) (2+ i) & = 4 + 4i + 2i + 2i ^ 2 \\ & = (4 -2) + 6i \\ & = 2 + 6i \ slutt {justert}
Å sette disse på plass gir:
z = \ frac {6 + i} {2 + 6i}
Å multiplisere begge deler med konjugatet av nevneren fører til:
\ begynn {justert} z & = \ frac {(6 + i) (2 - 6i)} {(2 + 6i) (2-6i)} \\ \, \\ & = \ frac {12 + 2i -36i -6i ^ 2} {4 + 12i -12i -36i ^ 2} \\ \, \\ & = \ frac {18 - 34i} {40} \\ \, \\ & = \ frac {9 - 17i} {20} \\ \, \\ & = \ frac {9} {20} - \ frac {17i} {20} \\ \ end {justert}
Så dette betyrzforenkler som følger:
\ begin {align} z & = \ frac {(4 + 2i) + (2 - i)} {(2 + 2i) (2+ i)} \\ & = \ frac {9} {20} - \ frac {17i} {20} \\ \ end {justert}