Tips for å løse kvadratiske ligninger

Hver algebra-student på høyere nivåer må lære å løse kvadratiske ligninger. Dette er en type polynomligning som inkluderer en styrke på 2, men ingen høyere, og de har den generelle formen:øks​² + ​bx​ + ​c= 0. Du kan løse disse ved å bruke den kvadratiske ligningsformelen, ved å faktorisere eller ved å fullføre firkanten.

TL; DR (for lang; Leste ikke)

Se først etter en faktorisering for å løse ligningen. Hvis det ikke er en annen ennbkoeffisienten er delelig med 2, fullfør firkanten. Hvis ingen av tilnærmingene er enkle, bruk den kvadratiske ligningsformelen.

Faktorisering utnytter det faktum at høyre side av standard kvadratisk ligning er lik null. Dette betyr at hvis du kan dele ligningen opp i to begreper i parentes multiplisert med hverandre, kan du finne ut løsningene ved å tenke på hva som ville gjøre hver parentes lik null. For å gi et konkret eksempel:

Sammenlign dette med standardskjemaet:

I eksemplet,en

Så, som representerer tallene etterdoge, du leter etter tall som tilfredsstiller:

Eller i dette tilfellet, medb​ = 6:

Og

Eller i dette tilfellet, medc​ = 9:

Fokuser på å finne tall som er faktorer forc, og legg dem sammen for å se om de er likeb. Når du har tallene dine, setter du dem i følgende format:

I eksemplet ovenfor beggedogeer 3:

Hvis du multipliserer parentesene, vil du ende opp med det opprinnelige uttrykket igjen, og dette er god praksis å sjekke faktoriseringen din. Du kan gå gjennom denne prosessen (ved å multiplisere de første, indre, ytre og deretter siste delene av parentesene etter tur - se Ressurser for mer detalj) for å se den i omvendt retning:

Faktorisering går effektivt gjennom denne prosessen i omvendt retning, men det kan være utfordrende å trene riktig måte å faktorisere den kvadratiske ligningen på, og denne metoden er ikke ideell for hver kvadratisk ligning for dette grunnen til. Ofte må du gjette på en faktorisering og deretter sjekke det.

Problemet gjør at noen av uttrykkene i parentes blir lik null gjennom ditt valg av verdi forx. Hvis en av parentesene er lik null, er hele ligningen lik null, og du har funnet en løsning. Se på den siste fasen [(x​ + 3) (​x+ 3) = 0], og du vil se at den eneste gangen parentesene blir null, er hvisx= −3. I de fleste tilfeller har kvadratiske ligninger imidlertid to løsninger.

Faktorisering er enda mer utfordrende hvisener ikke lik en, men å fokusere på enkle saker er bedre i begynnelsen.

Å fullføre firkanten hjelper deg med å løse kvadratiske ligninger som ikke lett kan faktoriseres. Denne metoden kan fungere for alle kvadratiske ligninger, men noen ligninger passer den mer enn andre. Tilnærmingen innebærer å gjøre uttrykket til et perfekt kvadrat og løse det. En generisk perfekt firkant utvides slik:

For å løse en kvadratisk ligning ved å fylle ut firkanten, får du uttrykket i formen på høyre side av det ovennevnte. Del først tallet ibposisjon med 2, og kvadrat deretter resultatet. Så for ligningen:

Koeffisientenb= 8, såb÷ 2 = 4 og (b​ ÷ 2)² = 16.

Legg dette til begge sider for å få:

Merk at dette skjemaet samsvarer med den perfekte firkantede formen, medd= 4, så 2d= 8 ogd​² = 16. Dette betyr at:

Sett dette inn i forrige ligning for å få:

Løs nå ligningen forx. Ta kvadratroten på begge sider for å få:

Trekk 4 fra begge sider for å få:

Roten kan være positiv eller negativ, og å ta den negative roten gir:

Finn den andre løsningen med den positive roten:

Derfor er den eneste løsningen uten null −8. Sjekk dette med det originale uttrykket for å bekrefte.

Den kvadratiske ligningsformelen ser mer komplisert ut enn de andre metodene, men den er den mest pålitelige metoden, og du kan bruke den i hvilken som helst kvadratisk ligning. Ligningen bruker symbolene fra standard kvadratisk ligning:

Og sier at:

Sett de riktige tallene inn på stedene deres, og arbeid gjennom formelen for å løse, husk å prøve å trekke fra og legge til kvadratrotsuttrykket og noter begge svarene. For følgende eksempel:

Du haren​ = 1, ​b= 6 ogc= 5. Så formelen gir:

Å ta det positive tegnet gir:

Og å ta det negative tegnet gir:

Hvilke er de to løsningene for ligningen.

Se etter en faktorisering før du prøver noe annet. Hvis du kan få øye på en, er dette den raskeste og enkleste måten å løse en kvadratisk ligning på. Husk at du leter etter to tall som tilsvarerbkoeffisient og multipliser for å gickoeffisient. For denne ligningen:

Du kan se at 2 + 3 = 5 og 2 × 3 = 6, så:

Ogx= −2 ellerx​ = −3.

Hvis du ikke ser en faktorisering, kan du sjekke ombkoeffisienten kan deles med 2 uten å bruke brøker. Hvis det er det, er det sannsynligvis den enkleste måten å løse ligningen på å fullføre firkanten.

Hvis ingen av tilnærmingene synes passende, bruk formelen. Dette virker som den vanskeligste tilnærmingen, men hvis du er i en eksamen eller på annen måte presser på for tid, kan det gjøre prosessen mye mindre stressende og mye raskere.