Rotasjonskinetisk energibeskriver bevegelsesenergien som skyldes et objekts rotasjon eller sirkelbevegelse. Husk detlineær kinetisk energiav en massembeveger seg med fartver gitt av 1 / 2mv2. Dette er en enkel beregning for ethvert objekt som beveger seg i en rett linje. Det gjelder objektets massesenter, slik at objektet kan tilnærmes som en punktmasse.
Nå, hvis vi vil beskrive den kinetiske energien til et utvidet objekt som gjennomgår mer kompleks bevegelse, blir beregningen vanskeligere.
Vi kan gjøre påfølgende tilnærminger ved å bryte opp det utvidede objektet i små biter, som hver kan tilnærmes som en punktmasse, og beregn deretter den lineære kinetiske energien for hver punktmasse hver for seg, og legg dem sammen for å finne summen for gjenstand. Jo mindre vi bryter objektet opp, jo bedre er tilnærmingen. I grensen der brikkene blir uendelige, kan dette gjøres med kalkulus.
Men vi har flaks! Når det gjelder rotasjonsbevegelse, er det en forenkling. For en roterende gjenstand, hvis vi beskriver dens massefordeling om rotasjonsaksen når det gjelder treghetsmomentet,
Jeg, er vi da i stand til å bruke en enkel rotasjons kinetisk energi ligning, diskutert senere i denne artikkelen.Treghetsmoment
Treghetsmomenter et mål på hvor vanskelig det er å få et objekt til å endre sin rotasjonsbevegelse rundt en bestemt akse. Treghetsmomentet for et roterende objekt avhenger ikke bare av massen til objektet, men også hvordan massen fordeles rundt rotasjonsaksen. Jo lenger vekk fra aksen massen fordeler seg, jo vanskeligere er det å endre rotasjonsbevegelsen, og dermed jo større treghetsmoment.
SI-enhetene for treghetsmoment er kgm2 (som er i samsvar med vår oppfatning at det avhenger av masse og avstand fra rotasjonsaksen). Treghetsmomentene for forskjellige objekter finner du i en tabell eller fra kalkulator.
Tips
Treghetsmomentet for ethvert objekt kan bli funnet ved hjelp av kalkulus og formelen for treghetsmomentet til en punktmasse.
Rotasjon kinetisk energi ligning
Formelen for rotasjonskinetisk energi er gitt av:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2
HvorJeger objektets treghetsmoment ogωer objektets vinkelhastighet i radianer per sekund (rad / s). SI-enheten for rotasjonskinetisk energi er joule (J).
Formen på den roterende kinetiske energiformelen er analog med den translasjonelle kinetiske energilikningen; treghetsmoment spiller rollen som masse, og vinkelhastighet erstatter lineær hastighet. Merk at den roterende kinetiske energilikningen gir det samme resultatet for en punktmasse som den lineære ligningen gjør.
Hvis vi forestiller oss en punktmassembeveger seg i en sirkel med radiusrmed fartv, så er vinkelhastigheten ω = v / r og treghetsmomentet er mr2. Begge kinetiske energilikningene gir det samme resultatet, som forventet:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 = \ frac {1} {2} (mr ^ 2) (v / r) ^ 2 = \ frac {1} {2} \ frac {m \ avbryt {r ^ 2} v ^ 2} {\ avbryt {r ^ 2}} = \ frac {1} {2} mv ^ 2 = KE_ {lin}
Hvis et objekt både roterer og massesenteret beveger seg langs en rett sti (som for eksempel med et rullende dekk),total kinetisk energier summen av den roterende kinetiske energien og den translasjonelle kinetiske energien:
KE_ {tot} = KE_ {rot} + KE_ {lin} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2
Eksempler ved bruk av Rotational Kinetic Energy Formula
Den roterende kinetiske energiformelen har mange anvendelser. Den kan brukes til å beregne den enkle kinetiske energien til et spinnende objekt, for å beregne den kinetiske energien til et rullende objekt (et objekt som gjennomgår både rotasjons- og translasjonsbevegelse) og å løse for andre ukjente. Tenk på følgende tre eksempler:
Eksempel 1:Jorden snurrer rundt sin akse omtrent en gang i døgnet. Hvis vi antar at den har en jevn tetthet, hva er dens roterende kinetiske energi? (Jordens radius er 6,37 × 106 m, og dens masse er 5,97 × 1024 kg.)
For å finne den roterende kinetiske energien, må vi først finne treghetsmomentet. Ved å tilnærme jorden som en solid kule får vi:
I = \ frac {2} {5} mr ^ 2 = \ frac {2} {5} (5,97 \ times10 ^ {24} \ text {kg}) (6,37 \ times10 ^ 6 \ text {m}) ^ 2 = 9,69 \ times10 ^ {37} \ text {kgm} ^ 2
Vinkelhastigheten er 2π radianer / dag. Å konvertere dette til rad / s gir:
2 \ pi \ frac {\ text {radians}} {\ avbryt {\ text {dag}}} \ frac {1 \ avbryt {\ text {dag}}} {86400 \ tekst {sekunder}} = 7,27 \ times10 ^ {-5} \ text {rad / s}
Så den roterende kinetiske energien til jorden er da:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 = \ frac {1} {2} (9.69 \ times10 ^ {37} \ text {kgm} ^ 2) (7.27 \ times10 ^ {- 5} \ text {rad / s}) ^ 2 = 2,56 \ ganger 10 ^ {29} \ text {J}
Morsomt faktum: Dette er mer enn 10 ganger den totale energien solen legger ut på et minutt!
Eksempel 2:En jevn sylinder med en masse på 0,75 kg og en radius på 0,1 m ruller over gulvet med en konstant hastighet på 4 m / s. Hva er dens kinetiske energi?
Den totale kinetiske energien er gitt av:
KE_ {tot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2
I dette tilfellet er jeg = 1/2 mr2 er treghetsmomentet for en solid sylinder, ogωer relatert til den lineære hastigheten via ω = v / r.
Å forenkle uttrykket for total kinetisk energi og plugge inn verdier gir:
KE_ {tot} = \ frac {1} {2} (\ frac {1} {2} mr ^ 2) (v / r) ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2 = \ frac {1 } {4} mv ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2 = \ frac {3} {4} mv ^ 2 \\ = \ frac {3} {4} (0,75 \ text {kg}) (4 \ text {m / s}) = 2,25 \ tekst {J}
Merk at vi ikke en gang trengte å bruke radiusen! Den avlyste på grunn av det direkte forholdet mellom rotasjonshastighet og lineær hastighet.
Eksempel 3:En student på sykkel går nedover en bakke fra hvile. Hvis den loddrette høyden på bakken er 30 m, hvor raskt går eleven i bunnen av bakken? Anta at sykkelen veier 8 kg, føreren veier 50 kg, hvert hjul veier 2,2 kg (inkludert i sykkelvekten) og hvert hjul har en diameter på 0,7 m. Omtrentlig hjulene som bøyler og antar at friksjonen er ubetydelig.
Her kan vi bruke mekanisk energibesparelse for å finne den endelige hastigheten. Den potensielle energien på toppen av bakken blir omgjort til kinetisk energi i bunnen. Den kinetiske energien er summen av den translasjonelle kinetiske energien til hele personen + sykkelsystemet og dekkens kinetiske energier.
Total energi i systemet:
E_ {tot} = PE_ {top} = mgh = (50 \ text {kg} + 8 \ text {kg}) (9.8 \ text {m / s} ^ 2) (30 \ text {m}) = 17.052 \ tekst {J}
Formelen for total energi når det gjelder kinetiske energier i bunnen av bakken er:
E_ {tot} = KE_ {bottom} = \ frac {1} {2} I_ {dekk} \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = \ frac {1} {2} (2 \ ganger m_ {dekk} \ ganger r_ {dekk} ^ 2) (v / r_ {dekk}) ^ 2 + \ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = m_ {dekk} v ^ 2 + \ frac {1} { 2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = (m_ {dekk} + \ frac {1} {2} m_ {tot}) v ^ 2
Løs forvgir:
v = \ sqrt {\ frac {E_ {tot}} {m_ {dekk} + \ frac {1} {2} m_ {tot}}}
Til slutt får vi svaret ved å plugge inn tall:
v = \ sqrt {\ frac {17.052 \ text {J}} {2.2 \ text {kg} + \ frac {1} {2} 58 \ text {kg}}} = 23.4 \ text {m / s}