Produktet av to skalære mengder er en skalar, og produktet av en skalar med en vektor er en vektor, men hva med produktet av to vektorer? Er det en skalar, eller en annen vektor? Svaret er, det kan være det!
Det er to måter å multiplisere vektorer sammen. Den ene er ved å ta prikkproduktet deres, som gir en skalar, og det andre er å ta deres kryssprodukt, som gir en annen vektor. Hvilket produkt du skal bruke, avhenger av det spesielle scenariet og hvilken mengde du prøver å finne.
Deprikkproduktblir noen ganger referert til somskalarproduktellerindre produkt. Geometrisk kan du tenke på punktproduktet mellom to vektorer som en måte å multiplisere vektorverdiene som bare teller bidrag i samme retning.
- Merk: Punktprodukter kan være negative eller positive, men det tegnet er ikke en indikasjon på retning. Selv om vektorretning ofte er angitt med tegn i en dimensjon, kan skalar størrelser også ha tegn knyttet til seg som ikke er retningsindikatorer. Gjeld er bare ett av mange eksempler på dette.
Definisjon av prikkproduktet
Prikkproduktet av vektoreren = (ax, ay)ogb = (bx, by)i et standard kartesisk koordinatsystem er definert som følger:
\ fet {a \ cdot b} = a_xb_x + a_yb_y
Når du tar prikkproduktet til en vektor med seg selv, oppstår et interessant forhold:
\ bold {a \ cdot a} = a_xa_x + a_ya_y = | \ bold {a} | ^ 2
Hvor |en| er størrelsen (lengden) påenav Pythagoras teorem.
En annen formel for produktprodukt kan utledes ved bruk av cosinusloven. Dette gjøres som følger:
Tenk på ikke-null-vektorerenogbsammen med forskjellsvektorena - b. Ordne de tre vektorene slik at de danner en trekant.
Loven om cosinus fra trigonometri forteller oss at:
| \ bold {ab} | ^ 2 = | \ bold {a} | ^ 2 + | \ bold {b} | ^ 2 - 2 | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta )
Og ved å bruke definisjonen av prikkproduktet får vi:
| \ bold {ab} | ^ 2 = (\ bold {ab}) \ cdot (\ bold {ab}) = (a_x-b_X) ^ 2 + (a_y-b_y) ^ 2 \\ = (a_x) ^ 2 + (b_x) ^ 2 - 2a_xb_x + (a_y) ^ 2 + (b_y) ^ 2 - 2a_yb_y \\ = | \ bold {a} | ^ 2 + | \ bold {b} | ^ 2-2 \ bold {a \ cdot b}
Å sette begge uttrykkene like og forenkle, får vi:
\ avbryt {| \ fet {a} | ^ 2} + \ avbryt {| \ fet {b} | ^ 2} - 2 \ fet {a \ cdot b} = \ avbryt {| \ fet {a} | ^ 2 } + \ avbryt {| \ bold {b} | ^ 2} - 2 | \ fet {a} || \ fet {b} | \ cos (\ theta) \\\ tekst {} \\\ innebærer \ innrammet {\ fet {a \ cdot b} = | \ fet {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta)}
Denne formuleringen gjør det mulig for vår geometriske intuisjon å spille inn. Mengden |en| cos (θ) er størrelsen på projeksjonen av vektorenenpå vektorb.
Så vi kan tenke på prikkproduktet som projeksjonen av en vektor på den andre, og deretter produktet av deres verdier. Med andre ord kan det sees på som produktet av en vektor med mengden av den andre vektoren i samme retning som seg selv.
Dotproduktets egenskaper
Følgende er flere egenskaper for prikkproduktet som du kan finne nyttige:
\ # \ text {1. Hvis} \ theta = 0 \ text {, så} \ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} |
Dette er fordi cos (0) = 1.
\ # \ text {2. Hvis} \ theta = 180 \ text {,}} \ bold {a \ cdot b} = - | \ bold {a} || \ bold {b} |
Dette er fordi cos (180) = -1.
\ # \ text {3. Hvis} \ theta = 90 \ text {,}} \ bold {a \ cdot b} = 0
Dette er fordi cos (90) = 0.
- Merk: For 0 <
θ
<90 vil prikkproduktet være positivt, og for 90 <
θ
<180, prikkproduktet vil være negativt.
\ # \ text {4. } \ bold {a \ cdot b} = \ bold {b \ cdot a}
Dette følger av å anvende kommutativ lov på punktproduktdefinisjonen.
\ # \ text {5. } \ bold {a \ cdot (b + c)} = \ bold {a \ cdot b} + \ bold {a \ cdot c}
Bevis:
\ bold {a \ cdot (b + c)} = \ bold {a} \ cdot (b_x + c_x, b_y + c_y) \\ = a_x (b_x + c_x) + a_y (b_y + c_y) \\ = a_xb_x + a_xc_x + a_yb_y + a_yc_y \\ = (a_xb_x + a_yb_y) + (a_xc_x + a_yc_y) \\ = \ bold {a \ cdot b} + \ fet {a \ cdot c}
\ # \ text {6. } c (\ bold {a \ cdot b}) = (c \ bold {a}) \ cdot \ bold {b}
Bevis:
c (\ bold {a \ cdot b}) = c (a_xb_x + a_yb_y) \\ = ca_xb_x + ca_yb_y \\ = (ca_x) b_x + (ca_y) b_y \\ = (c \ bold {a}) \ cdot \ fet {b}
Hvordan finne prikkproduktet
Eksempel 1:I fysikk, arbeid utført av en styrkeFpå et objekt da det gjennomgår forskyvningd, er definert som:
W = \ bold {F} \ cdot \ bold {d} = | \ bold {F} || \ bold {d} | \ cos (\ theta)
Hvor θ er vinkelen mellom kraftvektoren og forskyvningsvektoren.
Mengden arbeid utført av en styrke er en indikasjon på hvor mye den kraften bidro til forskyvningen. Hvis kraften er i samme retning som forskyvningen (cos (θ) = 0), gir den sitt maksimale bidrag. Hvis den er vinkelrett på forskyvningen (cos (Ѳ) = 90), gir det ikke noe bidrag i det hele tatt. Og hvis det er motsatt forskyvning, (cos (θ) = 180), gir det et negativt bidrag.
Anta at et barn skyver et leketøytog over et spor ved å bruke en kraft på 5 N i en vinkel på 25 grader i forhold til linjen på sporet. Hvor mye arbeid gjør barnet på toget når hun flytter det 0,5 m?
Løsning:
F = 5 \ tekst {N} \\ d = 0,5 \ tekst {m} \\ \ theta = 25 \ grad \\
Ved å bruke punktproduktdefinisjonen av arbeid, og plugge inn verdier får vi da:
W = Fd \ cos (\ theta) = 5 \ times0.5 \ times \ cos (25) = \ boxed {2.27 \ text {J}}
Fra dette konkrete eksemplet, bør det være enda tydeligere at å bruke en kraft vinkelrett på forskyvningsretningen ikke virker. Hvis barnet skyver toget i rett vinkel mot sporet, beveger toget seg ikke fremover eller bakover langs sporet. Det er også intuitivt at arbeidet som barnet gjør på toget vil øke når vinkelen avtar og kraften og forskyvningen er nærmere justeringen.
Eksempel 2:Kraft er et annet eksempel på en fysisk størrelse som kan beregnes ved hjelp av et punktprodukt. I fysikk er kraft lik arbeid delt på tid, men det kan også skrives som prikkproduktet av kraft og hastighet som vist:
P = \ frac {W} {t} = \ frac {\ bold {F \ cdot d}} {t} = \ bold {F} \ cdot \ frac {\ bold {d}} {t} = \ bold { F \ cdot v}
Hvorver hastighet.
Tenk på det forrige eksemplet på at barnet leker med toget. Hvis vi i stedet får beskjed om at den samme kraften blir påført som får toget til å bevege seg 2 m / s nedover sporet, så kan vi bruke punktproduktet for å finne kraften:
P = \ bold {F \ cdot v} = Fv \ cos (\ theta) = 5 \ times2 \ times \ cos (25) = 9.06 \ text {Watts}
Eksempel 3:Et annet eksempel der prikkprodukter brukes i fysikk, er i tilfelle magnetisk flux. Magnetisk strømning er mengden magnetfelt som passerer gjennom et gitt område. Det er funnet som prikkproduktet til magnetfeltetBmed områdetEN. (Retningen til en areavektor ervanligeller vinkelrett på overflaten av området.)
\ Phi = \ bold {B \ cdot A}
Anta at et felt på 0,02 Tesla passerer gjennom en trådsløyfe med en radius på 10 cm, og gjør en vinkel på 30 grader med det normale. Hva er strømmen?
\ Phi = \ bold {B \ cdot A} = BA \ cos (\ theta) = 0,02 \ ganger (\ pi \ times0.1 ^ 2) \ times \ cos (30) = 0.000544 \ text {Wb}
Når denne strømmen endres, enten ved å endre feltverdien, endre sløyfeområdet eller endre vinkel ved å rotere sløyfen eller feltkilden, vil strøm bli indusert i sløyfen, og generere elektrisitet!
Legg igjen merke til hvordan vinkelen er relevant på en intuitiv måte. Hvis vinkelen var 90 grader, ville dette bety at feltet ville ligge langs samme plan som området, og ingen feltlinjer ville passere gjennom løkken, noe som resulterte i ingen fluks. Mengden strømning øker da jo nærmere vinkelen mellom feltet og det normale blir 0. Prikkproduktet lar oss bestemme hvor mye av feltet som er i retning mot overflaten, og bidrar dermed til strømmen.
Vektorprojeksjon og prikkproduktet
I tidligere seksjoner ble det nevnt at prikkproduktet kan betraktes som en måte å projisere en vektor på en annen og deretter multiplisere størrelsen. Som sådan bør det ikke være overraskende at en formel for vektorprojeksjon kan utledes fra punktproduktet.
For å projisere vektorenpå vektorb, tar vi prikkproduktet avenmed enenhetsvektori retning avb, og multipliser deretter dette skalarresultatet med samme enhetsvektor.
En enhetsvektor er en vektor med lengde 1 som ligger i en bestemt retning. Enhetsvektoren i retning av vektorenber rett og slett vektorbdelt på størrelsen:
\ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |}
Så denne projeksjonen er da:
\ text {Projection of} \ bold {a} \ text {onto} \ bold {b} = \ Big (\ bold {a} \ cdot \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |} \ Big) \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |} = \ Big (\ bold {a} \ cdot \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Stor) \ fet {b}
Prikkproduktet i høyere dimensjon
Akkurat som vektorer finnes i høyere dimensjon, gjør også punktproduktet det. Tenk deg eksemplet med at barnet skyver toget igjen. Anta at hun skyver både nedover og i en vinkel mot siden av banen. I et standard koordinatsystem må kraft- og forskyvningsvektorene representeres som tredimensjonale.
Indimensjoner, er punktproduktet definert som følger:
\ bold {a \ cdot b} = \ oversett {n} {\ undersett {i = 1} {\ sum}} a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 +... + a_nb_n
Alle de samme prikkproduktegenskapene fra før gjelder fremdeles, og cosinusloven gir igjen forholdet:
\ fet {a \ cdot b} = | \ fet {a} || \ fet {b} | \ cos (\ theta)
Hvor størrelsen på hver vektor er funnet via følgende, igjen i samsvar med Pythagoras teorem:
| \ bold {a} | = \ sqrt {\ bold {a \ cdot a}} = \ sqrt {(a_1) ^ 2 + (a_2) ^ 2 +... + (a_n) ^ 2}
Hvordan finne prikkproduktet i tre dimensjoner
Eksempel 1:Punktproduktet er spesielt nyttig når du trenger å finne vinkelen mellom to vektorer. Anta for eksempel at vi vil bestemme vinkelen mellomen= (2, 3, 2) ogb= (1, 4, 0). Selv om du skisserer de to vektorene i 3-rom, kan det være veldig vanskelig å pakke hodet rundt geometrien. Men matematikken er ganske grei, og bruker det faktum at:
\ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta) \\\ innebærer \ theta = \ cos ^ {- 1} \ Big (\ frac {\ fet {a \ cdot b}} {| \ bold {a} || \ bold {b} |} \ Big)
Deretter beregner du punktproduktet tilenogb:
\ bold {a \ cdot b} = 2 \ times1 + 3 \ times4 + 2 \ times0 = 14
Og beregne størrelsen på hver vektor:
| \ bold {a} | = \ sqrt {2 ^ 2 + 3 ^ 2 + 2 ^ 2} = \ sqrt {17} = 4.12 \\ | \ bold {b} | = \ sqrt {1 ^ 2 + 4 ^ 2 + 0 ^ 2} = \ sqrt {17} = 4.12
Og til slutt å plugge inn alt, får vi:
\ theta = \ cos ^ {- 1} \ Big (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {a} || \ bold {b} |} \ Big) = \ cos ^ {- 1} \ Big (\ frac {14} {4.12 \ times 4.12} \ Big) = \ boxed {34.4 \ degree}
Eksempel 2:En positiv ladning sitter ved koordinatpunktet (3, 5, 4) i et tredimensjonalt rom. På hvilket punkt langs linjen som peker i retning av vektorenen= (6, 9, 5) er det elektriske feltet det største?
Løsning: Fra vår kunnskap om hvordan elektrisk feltstyrke er relatert til avstand, vet vi at poenget på linjen som er nærmest den positive ladningen er stedet der feltet vil være sterkest. Fra vår kunnskap om prikkprodukter kan vi gjette at bruk av projeksjonsformelen er fornuftig her. Den formelen skal gi oss en vektor hvis spiss er nøyaktig på det punktet vi leter etter.
Vi må beregne:
\ text {Projeksjon av} (3, 5, 4) \ text {på} \ bold {a} = \ Big ((3,5,4) \ cdot \ frac {\ bold {a}} {| \ bold { a} | ^ 2} \ Big) \ bold {a}
For å gjøre det, la oss først finne |en|2:
| \ fet {a} | ^ 2 = 6 ^ 2 + 9 ^ 2 + 5 ^ 2 = 142
Deretter prikkproduktet:
(3,5,4) \ cdot (6,9,5) = 3 \ ganger6 + 5 \ ganger9 + 4 \ ganger5 = 83
Del dette med |en|2 gir 83/142 = 0,585. Multipliser deretter denne skalaren medengir:
0,585 \ fet {a} = 0,585 \ ganger (6,9,5) = (3,51,5,27,2,93)
Derfor er punktet langs linjen der feltet er sterkest (3.51, 5.27, 2.93).