I algebra er tallsekvenser verdifulle for å studere hva som skjer når noe stadig blir større eller mindre. En aritmetisk sekvens er definert av den vanlige forskjellen, som er forskjellen mellom ett tall og det neste i sekvensen. For aritmetiske sekvenser er denne forskjellen en konstant verdi og kan være positiv eller negativ. Som et resultat blir en aritmetisk sekvens stadig større eller mindre med et fast beløp hver gang et nytt nummer legges til listen som utgjør sekvensen.
TL; DR (for lang; Leste ikke)
En aritmetisk sekvens er en liste over tall der påfølgende ord varierer med en konstant mengde, den vanlige forskjellen. Når den vanlige forskjellen er positiv, øker sekvensen med et fast beløp, mens hvis den er negativ, reduseres sekvensen. Andre vanlige sekvenser er den geometriske sekvensen, der vilkårene avviker med en felles faktor, og Fibonacci-sekvensen, der hvert tall er summen av de to foregående tallene.
Hvordan en aritmetisk sekvens fungerer
En aritmetisk sekvens er definert av et startnummer, en felles forskjell og antall ord i sekvensen. For eksempel er en aritmetisk sekvens som begynner med 12, en vanlig forskjell på 3 og fem termer 12, 15, 18, 21, 24. Et eksempel på en avtagende sekvens er en som begynner med tallet 3, en vanlig forskjell på −2 og seks termer. Denne sekvensen er 3, 1, −1, −3, −5, −7.
Aritmetiske sekvenser kan også ha et uendelig antall termer. For eksempel vil den første sekvensen ovenfor med et uendelig antall ord være 12, 15, 18,... og den sekvensen fortsetter til uendelig.
Aritmetisk gjennomsnitt
En aritmetisk sekvens har en tilsvarende serie som legger til alle vilkårene i sekvensen. Når vilkårene legges til og summen deles med antall termer, blir resultatet det aritmetiske gjennomsnittet eller gjennomsnittet. Formelen for det aritmetiske gjennomsnittet er
\ text {mean} = \ frac {\ text {sum of} n \ text {terms}} {n}
En rask måte å beregne gjennomsnittet av en aritmetisk sekvens på er å bruke observasjonen at når den første og siste vilkår er lagt til, summen er den samme som når den andre og den siste sist vilkårene er lagt til eller den tredje og tredje til siste vilkår. Som et resultat er summen av sekvensen summen av første og siste ord ganger halvparten av antall ord. For å få gjennomsnittet er summen delt på antall termer, så gjennomsnittet av en aritmetisk sekvens er halvparten av summen av første og siste ord. Tilnvilkåren1 tilenn, er den tilsvarende formelen for gjennomsnittet m
m = \ frac {a_1 + a_n} {2}
Uendelige aritmetiske sekvenser har ikke en siste periode, og derfor er middelverdien udefinert. I stedet kan et middel for en delsum bli funnet ved å begrense summen til et definert antall termer. I så fall kan delsummen og dens gjennomsnitt bli funnet på samme måte som for en ikke-uendelig sekvens.
Andre typer sekvenser
Sekvenser av tall er ofte basert på observasjoner fra eksperimenter eller målinger av naturfenomener. Slike sekvenser kan være tilfeldige tall, men ofte viser sekvenser seg å være aritmetiske eller andre ordnede talllister.
For eksempel skiller geometriske sekvenser seg fra aritmetiske sekvenser fordi de har en felles faktor i stedet for en felles forskjell. I stedet for å ha et tall lagt til eller trukket for hver nye periode, blir et tall multiplisert eller delt hver gang et nytt begrep blir lagt til. En sekvens som er 10, 12, 14,... som en aritmetisk sekvens med en felles forskjell på 2 blir 10, 20, 40,... som en geometrisk sekvens med en felles faktor 2.
Andre sekvenser følger helt andre regler. For eksempel blir Fibonacci-sekvensbetingelsene dannet ved å legge til de to foregående tallene. Sekvensen er 1, 1, 2, 3, 5, 8,... Vilkårene må legges til individuelt for å få en delvis sum fordi den raske metoden for å legge til de første og siste vilkårene ikke fungerer for denne sekvensen.
Aritmetiske sekvenser er enkle, men de har virkelige applikasjoner. Hvis utgangspunktet er kjent og den vanlige forskjellen kan bli funnet, kan verdien av serien på et bestemt punkt i fremtiden beregnes, og gjennomsnittsverdien kan også bestemmes.