I matematikk er en sekvens en hvilken som helst streng med tall arrangert i økende eller synkende rekkefølge. En sekvens blir en geometrisk sekvens når du klarer å oppnå hvert tall ved å multiplisere det forrige tallet med en felles faktor. For eksempel serien 1, 2, 4, 8, 16... er en geometrisk sekvens med felles faktor 2. Hvis du ganger et tall i serien med 2, får du neste nummer. I kontrast, sekvensen 2, 3, 5, 8, 14, 22... er ikke geometrisk fordi det ikke er noen felles faktor mellom tall. En geometrisk sekvens kan ha en brøkdel felles faktor, i hvilket tilfelle hvert påfølgende nummer er mindre enn det som gikk foran det. 1, 1/2, 1/4, 1/8... er et eksempel. Den vanlige faktoren er 1/2.
Det faktum at en geometrisk sekvens har en felles faktor, lar deg gjøre to ting. Den første er å beregne et vilkårlig element i sekvensen (som matematikere liker å kalle "nth "element), og det andre er å finne summen av den geometriske sekvensen opp tilnelementet. Når du summerer sekvensen ved å sette et pluss-tegn mellom hvert par av begrepene, gjør du sekvensen til en geometrisk serie.
Finne det niende elementet i en geometrisk serie
Generelt kan du representere hvilken som helst geometrisk serie på følgende måte:
a + ar + ar ^ 2 + ar ^ 3 + ar ^ 4 +.. .
hvor "en"er første periode i serien og"r"er den vanlige faktoren. For å sjekke dette, vurder serien deren= 1 ogr= 2. Du får 1 + 2 + 4 + 8 + 16... det fungerer!
Etter å ha etablert dette, er det nå mulig å utlede en formel for den niende termen i sekvensen (xn).
x_n = ar ^ {(n-1)}
Eksponenten ern- 1 i stedet fornfor å tillate at første periode i sekvensen skrives somar0, som tilsvarer "en."
Sjekk dette ved å beregne 4. termin i eksempelserien.
x_4 = (1) × 2 ^ 3 = 8
Beregning av summen av en geometrisk sekvens
Hvis du vil oppsummere en divergerende sekvens, som er en med en felles rasjon større enn 1 eller mindre enn -1, kan du bare gjøre det opptil et endelig antall termer. Det er imidlertid mulig å beregne summen av en uendelig konvergent sekvens, som er en med et felles forhold mellom 1 og - 1.
For å utvikle den geometriske sumformelen, begynn med å vurdere hva du gjør. Du ser etter totalt antall serier med tillegg:
a + ar + ar ^ 2 + ar ^ 3 +... + ar ^ {(n-1)}
Hver periode i serien erark, ogkgår fra 0 tiln− 1. Formelen for summen av serien benytter segma-tegnet - ∑ - som betyr å legge til alle termer fra (k= 0) til (k = n − 1).
\ sum_k ^ {n-1} ar ^ k = a \ bigg (\ frac {1 - r ^ n} {1 - r} \ bigg)
For å sjekke dette, vurder summen av de fire første begrepene i den geometriske serien som begynner på 1 og har en felles faktor 2. I formelen ovenfor,en = 1, r= 2 ogn= 4. Ved å plugge inn disse verdiene får du:
1 \ bigg (\ frac {1 - 2 ^ 4} {1 - 2} \ bigg) = 15
Dette er enkelt å verifisere ved å legge til tallene i serien selv. Når du trenger summen av en geometrisk serie, er det vanligvis lettere å legge til tallene selv når det bare er noen få ord. Hvis serien har et stort antall termer, er det imidlertid mye enklere å bruke formelen for geometrisk sum.