For å konstruere en vektor som er vinkelrett på en annen gitt vektor, kan du bruke teknikker basert på punktproduktet og kryssproduktet til vektorene. Punktproduktet til vektorene A = (a1, a2, a3) og B = (b1, b2, b3) er lik summen av produktene til de tilsvarende komponentene: A ∙ B = a1_b2 + a2_b2 + a3_b3. Hvis to vektorer er vinkelrette, er deres punktprodukt lik null. Tverrproduktet til to vektorer er definert til å være A × B = (a2_b3 - a3_b2, a3_b1 - a1_b3, a1_b2 - a2 * b1). Tverrproduktet til to ikke-parallelle vektorer er en vektor som er vinkelrett på dem begge.
Skriv ned en hypotetisk, ukjent vektor V = (v1, v2).
Beregn prikkproduktet til denne vektoren og den gitte vektoren. Hvis du får U = (-3,10), er punktproduktet V ∙ U = -3 v1 + 10 v2.
Sett punktproduktet lik 0 og løs for en ukjent komponent i forhold til den andre: v2 = (3/10) v1.
Velg hvilken som helst verdi for v1. La for eksempel v1 = 1.
Løs for v2: v2 = 0,3. Vektoren V = (1,0.3) er vinkelrett på U = (-3,10). Hvis du valgte v1 = -1, ville du få vektoren V ’= (-1, -0.3), som peker i motsatt retning av den første løsningen. Dette er de eneste to retningene i det todimensjonale planet vinkelrett på den gitte vektoren. Du kan skalere den nye vektoren til hvilken størrelse du vil. For eksempel, for å gjøre det til en enhetsvektor med størrelsen 1, ville du konstruere W = V / (størrelsen på v) = V / (sqrt (10) = (1 / sqrt (10), 0,3 / sqrt (10).
Velg hvilken som helst vilkårlig vektor som ikke er parallell med den gitte vektoren. Hvis en vektor Y er parallell med en vektor X, så er Y = a * X for noen ikke-null konstant a. For enkelhets skyld, bruk en av enhetsbasisvektorene, for eksempel X = (1, 0, 0).
Beregn kryssproduktet til X og U, ved hjelp av U = (10, 4, -1): W = X × U = (0, 1, 4).
Kontroller at W er vinkelrett på U. W ∙ U = 0 + 4 - 4 = 0. Bruk av Y = (0, 1, 0) eller Z = (0, 0, 1) vil gi forskjellige vinkelrette vektorer. De vil alle ligge i planet definert av ligningen 10 v1 + 4 v2 - v3 = 0.