Integreringsfunksjoner er en av kjerneapplikasjonene i kalkulatoren. Noen ganger er dette greit, som i:
F (x) = \ int (x ^ 3 + 8) dx
I et relativt komplisert eksempel av denne typen kan du bruke en versjon av grunnformelen for å integrere ubestemte integraler:
\ int (x ^ n + A) dx = \ frac {x ^ {(n + 1)}} {n + 1} + Ax + C
hvorENogCer konstanter.
Således for dette eksemplet,
\ int x ^ 3 + 8 = \ frac {x ^ 4} {4} + 8x + C
Integrering av grunnleggende firkantede rotfunksjoner
På overflaten er det vanskelig å integrere en kvadratrotfunksjon. For eksempel kan du bli stymied av:
F (x) = \ int \ sqrt {(x ^ 3) + 2x - 7} dx
Men du kan uttrykke en kvadratrot som en eksponent, 1/2:
\ sqrt {x ^ 3} = x ^ {3 (1/2)} = x ^ {(3/2)}
Integralet blir derfor:
\ int (x ^ {3/2} + 2x - 7) dx
som du kan bruke den vanlige formelen fra oven:
\ begin {align} \ int (x ^ {3/2} + 2x - 7) dx & = \ frac {x ^ {(5/2)}} {5/2} + 2 \ bigg (\ frac {x ^ 2} {2} \ bigg) - 7x \\ & = \ frac {2} {5} x ^ {(5/2)} + x ^ 2 - 7x \ end {justert}
Integrering av mer komplekse firkantede rotfunksjoner
Noen ganger kan du ha mer enn ett begrep under det radikale tegnet, som i dette eksemplet:
F (x) = \ int \ frac {x + 1} {\ sqrt {x - 3}} dx
Du kan brukeu-bytte for å fortsette. Her setter du degulik mengden i nevneren:
u = \ sqrt {x - 3}
Løs dette forxved å kvadre begge sider og trekke fra:
u ^ 2 = x - 3 \\ x = u ^ 2 + 3
Dette lar deg få dx når det gjelderuved å ta derivatet avx:
dx = (2u) du
Å bytte tilbake til den opprinnelige integralen gir
\ begin {justert} F (x) & = \ int \ frac {u ^ 2 + 3 + 1} {u} (2u) du \\ & = \ int \ frac {2u ^ 3 + 6u + 2u} {u } du \\ & = \ int (2u ^ 2 + 8) du \ end {justert}
Nå kan du integrere dette ved å bruke den grunnleggende formelen og uttrykkeui form avx:
\ begin {align} \ int (2u ^ 2 + 8) du & = \ frac {2} {3} u ^ 3 + 8u + C \\ & = \ frac {2} {3} (\ sqrt {x - 3}) ^ 3 + 8 (\ sqrt {x - 3}) + C \\ & = \ frac {2} {3} (x - 3) ^ {(3/2)} + 8 (x - 3) ^ {(1/2)} + C \ end {justert}