Du kan støte på situasjoner der du har en tredimensjonal solid form og trenger å finne ut område av et tenkt plan satt inn gjennom formen og har grenser definert av grensene til fast.
Hvis du for eksempel hadde et sylindrisk rør som kjørte under hjemmet ditt, og som var 20 meter (m) langt og 0,15 m bredt, vil du kanskje vite hva tverrsnittsareal av røret.
Tverrsnitt kan være vinkelrett på retningen til aksene til det faste stoffet, hvis det finnes noen. Når det gjelder en kule, vil ethvert skjæreplan gjennom kule, uavhengig av orientering, resultere i en plate av en eller annen størrelse.
Arealet av tverrsnittet avhenger av formen på det faste stoffet som bestemmer tverrsnittet grenser og vinkelen mellom det faste stoffets symmetriakse (hvis noen) og planet som skaper tverrsnitt.
Tverrsnittsareal av et rektangulært fast stoff
Volumet til et hvilket som helst rektangulært fast stoff, inkludert en kube, er arealet av basen (lengde ganger bredde) multiplisert med høyden: V = l × b × h.
Derfor, hvis et tverrsnitt er parallelt med toppen eller bunnen av det faste stoffet, er tverrsnittets areal × b. Hvis skjæreplanet er parallelt med en av de to setter sidene, blir tverrsnittsarealet i stedet gitt av l × h eller b × h.
Hvis tverrsnittet ikke er vinkelrett på noen symmetriakse, kan formen som opprettes være en trekant (hvis den plasseres gjennom et hjørne av det faste stoffet) eller til og med en sekskant.
Eksempel: Beregn tverrsnittsarealet til et plan vinkelrett på bunnen av en kube med et volum på 27 m3.
-
Siden l = w = h for en kube, må en hvilken som helst kant av kuben være 3 m lang (siden 3
× 3
× 3 = 27). Et tverrsnitt av den beskrevne typen vil derfor være et kvadrat 3 m på siden, og gi et areal på 9 m2.
Tverrsnittsareal av en sylinder
En sylinder er et fast stoff opprettet ved å strekke en sirkel gjennom rommet vinkelrett på diameteren. Området til en sirkel er gitt med formelen πr2, hvor r er radiusen. Det er derfor fornuftig at volumet til en sylinder vil være området til en av sirklene som danner basen.
Hvis tverrsnittet er parallelt med symmetriaksen, er tverrsnittsarealet ganske enkelt en sirkel med et område på πr2. Hvis skjæreplanet settes inn i en annen vinkel, er den genererte formen en ellipse. Området bruker den tilsvarende formelen: πab (hvor a er den lengste avstanden fra sentrum av ellipsen til kanten, og b er den korteste).
Eksempel: Hva er rørets tverrsnittsareal under hjemmet ditt beskrevet i innledningen?
-
Dette er bare πr2 = π (0,15 m)2=
π (0,0225) m2 = 0,071 m2. Merk at lengden på røret er irrelevant for denne beregningen.
Tverrsnittsareal av en sfære
Ethvert teoretisk plan plassert gjennom en kule vil resultere i en sirkel (tenk på dette et øyeblikk). Hvis du vet enten diameteren eller omkretsen av sirkelen tverrsnittet danner, kan du bruke forholdet C = 2πr og A = πr2 for å få en løsning.
Eksempel: Et fly settes frekt gjennom jorden veldig nær Nordpolen, og fjerner en del av planeten 10 m rundt. Hva er tverrsnittsarealet til dette kalde jordstykket?
- Siden C = 2πr = 10 m, r = 10 / 2π = 1,59 m; A = πr2= π(1.59)2= 7,96 m2.