I geometri er en åttekant en polygon med åtte sider. En vanlig åttekant har åtte like sider og like vinkler. Den vanlige åttekanten er ofte gjenkjent fra stoppskilt. En oktaeder er en åttesidig polyhedron. En vanlig oktaeder har åtte trekanter med like lange kanter. Det er faktisk to firkantede pyramider som møtes ved basene.
Octagon Area Formula
Formelen for arealet til en vanlig åttekant med sider av lengden "a" er 2 (1 + sqrt (2)) a ^ 2, hvor "sqrt" indikerer kvadratroten.
Derivasjon
En åttekant kan sees på som 4 rektangler, en firkant i midten og fire likestilte trekanter i hjørnene.
Torget er av område a ^ 2.
Trekantene har sidene a, a / sqrt (2) og a / sqrt (2), av Pythagoras teorem. Derfor har hver et areal på a ^ 2/4.
Rektanglene er av område a * a / sqrt (2).
Summen av disse 9 områdene er 2a ^ 2 (1 + sqrt (2)).
Octahedron Volume Formula
Formelen for volumet av en vanlig oktaeder av sidene "a" er a ^ 3 * sqrt (2) / 3.
Derivasjon
Området til en firesidig pyramide er arealet av base * høyde / 3. Arealet til en vanlig åttekant er derfor 2 * base * høyde / 3.
Base = a ^ 2 trivielt.
Velg to tilstøtende hjørner, si "F" og "C." "O" er i sentrum. FOC er en likbenet høyre trekant med base "a", så OC og OF har lengde a / sqrt (2) av Pythagoras teorem. Så høyde = a / sqrt (2).
Så volumet til en vanlig oktaeder er 2 * (a ^ 2) * a / sqrt (2) / 3 = a ^ 3 * sqrt (2) / 3.
Flateareal
Den vanlige oktaederens overflate er arealet av en ligesidig trekant av siden "a" ganger 8 flater.
For å bruke Pythagoras teorem, slipp en linje fra toppunktet til basen. Dette skaper to høyre trekanter, med hypotenusen av lengden "a" og den ene sidelengden "a / 2." Derfor må den tredje siden være sqrt [a ^ 2 - a ^ 2/4] = sqrt (3) a / 2. Så arealet til en likesidig trekant er høyde * base / 2 = sqrt (3) a / 2 * a / 2 = sqrt (3) a ^ 2/4.
Med 8 sider er overflaten til en vanlig oktaeder 2 * sqrt (3) * a ^ 2.