Sirkler er overalt i den virkelige verden, og det er derfor deres radier, diametre og omkrets er viktige i virkelighetsapplikasjoner. Men det er andre deler av sirkler - sektorer og vinkler, for eksempel - som også har betydning i hverdagsapplikasjoner. Eksempler inkluderer sektorstørrelser på sirkulær mat som kaker og paier, vinkelen som er reist i pariserhjul, dimensjonering av et dekk til et bestemt kjøretøy og spesielt dimensjonering av en ring for inngrep eller bryllup. Av disse grunnene og mer har geometri også ligninger og problemberegninger som omhandler sentrale vinkler, buer og sektorer av en sirkel.
Hva er den sentrale vinkelen?
Den sentrale vinkelen er definert som vinkelen skapt av to stråler eller radier som utstråler fra sentrum av en sirkel, med sirkelens sentrum som toppunktet for den sentrale vinkelen. Sentrale vinkler er spesielt relevante når det gjelder jevn fordeling av pizza eller annen sirkulærmat mellom et bestemt antall mennesker. Si det er fem personer på en soiree der en stor pizza og en stor kake skal deles. Hva er vinkelen som både pizza og kake må deles i for å sikre et like stykke for alle? Siden det er 360 grader i en sirkel, blir beregningen 360 grader delt på 5 for å komme til 72 grader, slik at hvert stykke, enten det er pizza eller kake, har en sentral vinkel, eller theta (θ), som måler 72 grader.
Bestemme den sentrale vinkelen fra buelengden
En sirkelbue refererer til en "del" av sirkelens omkrets. Buelengden er derfor lengden på den "delen". Hvis du forestiller deg en pizzabit, kan sektorområdet være visualisert som hele pizzaen, men buelengden er lengden på den ytre kanten av skorpen for det bestemt stykke. Fra buelengden kan den sentrale vinkelen beregnes. En formel som kan hjelpe til med å bestemme den sentrale vinkelen, sier at buelengden (e) er lik radien ganger den sentrale vinkelen, eller
s = r × θ
der vinkelen, theta, måles i radianer. Så for å løse den sentrale vinkelen, theta, trenger man bare å dele buelengden med radien, eller
\ frac {s} {r} = θ
For å illustrere, hvis buelengden er 5,9 og radien er 3,5329, blir den sentrale vinkelen 1,67 radianer. Et annet eksempel er at buelengden er 2 og radiusen er 2, blir den sentrale vinkelen 1 radian. Hvis du vil konvertere radianer til grader, husk at 1 radian er 180 grader delt på π, eller 57,2958 grader. Omvendt, hvis en ligning ber om å konvertere grader tilbake til radianer, må du deretter multiplisere med π, og deretter dele med 180 grader.
Bestemmelse av den sentrale vinkelen fra sektorområdet
En annen nyttig formel for å bestemme sentral vinkel er gitt av sektorområdet, som igjen kan visualiseres som et stykke pizza. Denne spesielle formelen kan sees på to måter. Den første har den sentrale vinkelen målt i grader slik at sektorområdet er lik π ganger radius-kvadrat og deretter multiplisert med mengden av den sentrale vinkelen i grader delt på 360 grader. Med andre ord:
πr ^ 2 × \ frac {\ text {sentral vinkel i grader}} {360 \ tekst {grader}} = \ tekst {sektorområde}
Hvis den sentrale vinkelen måles i radianer, blir formelen i stedet:
\ text {sektorområde} = r ^ 2 × \ frac {\ text {sentral vinkel i radianer}} {2}
Omorganisering av formlene vil bidra til å løse verdien av den sentrale vinkelen, eller theta. Tenk på et sektorområde på 52,3 kvadratcentimeter med en radius på 10 centimeter. Hva ville den sentrale vinkelen være i grader? Beregningene vil begynne med et sektorareal på 52,3 kvadratcentimeter som tilsvarer:
\ frac {θ} {360 \ text {grader}} × πr ^ 2
Siden radius (r) er lik 10, kan hele ligningen skrives som:
\ frac {52.3} {100π} × 360
slik at theta kan skrives som:
\ frac {52.3} {314} × 360
Dermed blir det endelige svaret en sentral vinkel på 60 grader.