Trigonometri kan føles som et ganske abstrakt emne. Arcane begreper som "synd" og "cos" ser bare ikke ut til å stemme overens med noe i virkeligheten, og det er vanskelig å få tak i dem som begreper. Enhetssirkelen hjelper vesentlig med dette, og gir en enkel forklaring på hva tallene du får når du tar sinus, cosinus eller tangens i en vinkel. For alle studenter i naturfag eller matematikk kan forståelse av enhetssirkelen virkelig sementere din forståelse av trigonometri og hvordan du bruker funksjonene.
TL; DR (for lang; Leste ikke)
En enhetssirkel har en radius på en. Se for deg enxykoordinatsystem som starter i midten av denne sirkelen. Punktvinklene måles fra er hvorx= 1 ogy= 0, på høyre side av sirkelen. Vinklene øker når du beveger deg mot urviseren.
Ved hjelp av dette rammeverket, ogyfory-koordinere ogxforx-koordinat av punktet på sirkelen:
syndθ = y
cosθ = x
Og konsekvent:
solbrunθ = y / x
Hva er enhetssirkelen?
En "enhetssirkel" har en radius på 1. Med andre ord er avstanden fra sentrum av sirkelen til hvilken som helst del av kanten alltid 1. Måleenheten spiller ingen rolle, fordi det viktigste med enhetssirkelen er at den gjør mange ligninger og beregninger mye enklere.
Det fungerer også som et nyttig grunnlag for å se på definisjonene av vinkler. Tenk deg at sentrum av sirkelen sitter i midten av et koordinatsystem med enx-aksen går horisontalt og eny-aksen går loddrett. Sirkelen krysserx-akse klx = 1, y= 0. Forskere og matematikere definerer vinkelen fra det punktet som beveger seg mot urviseren. Så poengetx =1, y= 0 på sirkelen er i en vinkel på 0 °.
Definisjonene av Sin and Cos With the Unit Circle
De vanlige definisjonene av synd, cos og tan som gis til studenter, er knyttet til trekanter. De sier:
\ sin θ = \ frac {\ text {motsatt}} {\ text {hypotenuse}} \\ \, \\ \ cos θ = \ frac {\ text {tilstøtende}} {\ text {hypotenuse}} \\ \, \\ \ tan θ = \ frac {\ sin θ} {\ cos θ}
Det "motsatte" refererer til lengden på siden av trekanten motsatt vinkelen, "tilstøtende" refererer til lengden på siden ved siden av vinkelen og "hypotenuse" refererer til lengden på den diagonale siden av triangel.
Tenk deg å lage en trekant slik at hypotenusen alltid var radiusen til enhetssirkelen, med ett hjørne i kanten av sirkelen og ett i midten. Dette betyr at hypotenuse = 1 i ligningene ovenfor, så de to første blir:
\ sin θ = \ frac {\ text {motsatt}} {1} = \ tekst {motsatt} \\ \, \\ \ cos θ = \ frac {\ text {tilstøtende}} {1} = \ tekst {tilstøtende} \\
Hvis du lager den aktuelle vinkelen til sentrum i sirkelen, er det motsatte barey-koordinere og tilstøtende er barex-koordinat av punktet på sirkelen som berører trekanten. Med andre ord, synd returnerery-koordinere på enhetssirkelen (ved hjelp av koordinater som starter i sentrum) for en gitt vinkel og cos returnererx-koordinere. Dette er grunnen til at cos (0) = 1 og sin (0) = 0, for på dette punktet er det koordinatene. På samme måte er cos (90) = 0 og sin (90) = 1, fordi dette er poenget medx= 0 ogy= 1. I form av ligning:
\ sin θ = y \\ \ cos θ = x
Negative vinkler er også enkle å forstå på grunnlag av dette. De negative vinklene (målt med urviseren fra startpunktet) har det sammexkoordinere som tilsvarende positiv vinkel, så:
\ cos -θ = \ cos θ
Imidlertid, deny-koordinatbrytere, noe som betyr det
\ sin -θ = - \ sin θ
Definisjonen av tan med enhetssirkelen
Definisjonen av tan gitt ovenfor er:
\ tan θ = \ frac {\ sin θ} {\ cos θ}
Men med enhetssirkeldefinisjonene av synd og cos, kan du se at dette tilsvarer:
\ tan θ = \ frac {\ text {motsatt}} {\ text {tilstøtende}}
Eller tenker i form av koordinater:
\ tan θ = \ frac {y} {x}
Dette forklarer hvorfor tan er udefinert i 90 ° eller -270 ° og 270 ° eller -90 ° (hvorx= 0), fordi du ikke kan dele med null.
Graftegning av trigonometriske funksjoner
Å tegne sin eller cos blir lettere når du tenker på enhetssirkelen. Dex-koordinaten varierer jevnt når du beveger deg rundt sirkelen, begynner ved 1 og synker til minimum −1 ved 180 °, og øker deretter på samme måte. Sinfunksjonen gjør det samme, men den øker til en maksimumsverdi på 1 ved 90 ° først, før du følger samme mønster. De to funksjonene sies å være 90 ° utenfor "fase" med hverandre.
Graftegning av tan krever delingyavx, og det er mer komplisert å tegne, og har også poeng der det er udefinert.