Å mestre begrepene sinus og cosinus er en integrert del av trigonometri. Men når du først har disse ideene, blir de byggesteinene for andre nyttige verktøy innen trigonometri og senere kalkulator. For eksempel er "cosinusloven" en spesiell formel som du kan bruke til å finne den manglende siden av en trekant hvis du vet lengden på de to andre sidene pluss vinkelen mellom dem, eller for å finne vinklene til en trekant når du kjenner alle tre sider.
Loven om kosinus
Loven om cosinus kommer i flere versjoner, avhengig av hvilke vinkler eller sider av trekanten du har å gjøre med:
a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc × \ cos (A) \\ b ^ 2 = a ^ 2 + c ^ 2 - 2ac × \ cos (B) \\ c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab × \ cos (C)
I hvert tilfelle,en, bogcer sidene til en trekant, ogEN, B, ellerCer vinkelen motsatt siden av samme bokstav. SåENer vinkelen motsatt sidea, Ber vinkelen motsatt sideb, ogCer vinkelen motsatt sidec. Dette er formen på ligningen du bruker hvis du finner lengden på en av trekantsidene.
Loven om cosinus kan også skrives om i versjoner som gjør det lettere å finne noen av trekantens tre vinkler, forutsatt at du kjenner lengdene på alle tre av trekantsidene:
cos (A) = \ frac {b ^ 2 + c ^ 2 - a ^ 2} {2bc} \\ \, \\ cos (B) = \ frac {c ^ 2 + a ^ 2 - b ^ 2} { 2ac} \\ \, \\ cos (C) = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2} {2ab}
Løs for en side
For å kunne bruke cosinusloven til å løse siden av en trekant, trenger du tre opplysninger: lengdene på trekantens andre to sider, pluss vinkelen mellom dem. Velg versjonen av formelen der siden du vil finne er til venstre for ligningen, og informasjonen du allerede har er til høyre. Så hvis du vil finne lengden på sidenen, vil du bruke versjonen
a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc × \ cos (A)
Bytt ut verdiene til de to kjente sidene, og vinkelen mellom dem, i formelen. Hvis trekanten din har kjente siderbogcsom måler henholdsvis 5 enheter og 6 enheter, og vinkelen mellom dem måler 60 grader (som også kan uttrykkes i radianer som π / 3), vil du ha:
a ^ 2 = 5 ^ 2 + 6 ^ 2 - (2 × 5 × 6) × \ cos (60)
Bruk en tabell eller kalkulatoren for å slå opp verdien av cosinus; i dette tilfellet er cos (60) = 0,5, og gir deg ligningen:
a ^ 2 = 5 ^ 2 + 6 ^ 2 - (2 × 5 × 6) × 0,5
Forenkle resultatet av trinn 2. Dette gir deg:
a ^ 2 = 25 + 36 - 30
Som igjen forenkler å:
a ^ 2 = 31
Ta kvadratroten på begge sider for å løseen. Dette etterlater deg med:
a = \ sqrt {31}
Mens du kan bruke et diagram eller kalkulatoren din til å estimere verdien av √31 (det er 5,568), vil du ofte få lov - og til og med oppfordret - til å legge igjen svaret i sin mer presise radikale form.
Å løse en vinkel
Du kan bruke den samme prosessen for å finne hvilken som helst av trekantsvinklene hvis du kjenner til alle tre sidene. Denne gangen velger du versjonen av formelen som setter den manglende eller "vet ikke det" -vinkelen på venstre side av likhetstegnet. Tenk deg at du vil finne målet for vinkelen C (som, husk, er definert som vinkelen motsatt sidec). Du bruker denne versjonen av formelen:
\ cos (C) = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2} {2ab}
Erstatt de kjente verdiene - i denne typen problemer, det betyr lengdene på alle tre av trekantsiden - inn i ligningen. Som et eksempel, la sidene av trekanten væreen= 3 enheter,b= 4 enheter ogc= 25 enheter. Så ligningen blir:
\ cos (C) = \ frac {3 ^ 2 + 4 ^ 2 - 5 ^ 2} {2 × 3 × 4}
Når du har forenklet den resulterende ligningen, har du:
\ cos (C) = \ frac {0} {24}
eller bare cos (C) = 0.
Beregn invers cosinus eller arc cosinus på 0, ofte notert som cos-1(0). Eller med andre ord, hvilken vinkel har en cosinus på 0? Det er faktisk to vinkler som returnerer denne verdien: 90 grader og 270 grader. Men per definisjon vet du at hver vinkel i en trekant må være mindre enn 180 grader, så det er bare 90 grader som et alternativ.
Så målingen på den manglende vinkelen din er 90 grader, noe som betyr at du tilfeldigvis har å gjøre med en rett trekant, selv om denne metoden også fungerer med ikke-rette trekanter.