Hva skjer når du løfter et tall til en brøkdel?

Når du "løfter et tall til en kraft", multipliserer du tallet med seg selv, og "kraften" representerer hvor mange ganger du gjør det. Så 2 hevet til tredje kraft er det samme som 2 x 2 x 2, som tilsvarer 8. Når du hever et tall til en brøkdel, går du derimot i motsatt retning - du prøver å finne "roten" til tallet.

Det matematiske uttrykket for å heve et tall til en makt er "eksponentiering". Et eksponensielt uttrykk har to deler: basen, som er tallet du hever, og eksponenten, som er "makten". Så når du hever 2 til tredje kraft, er basen 2 og eksponenten er 3. Å heve basen til den andre kraften kalles ofte firkanting av basen, mens å heve den til den tredje kraften kalles ofte kubering av basen. Matematikere skriver vanligvis eksponentielle uttrykk med eksponenten i overskrift - det vil si som et lite tall øverst til høyre på basen. Fordi noen datamaskiner, kalkulatorer og andre enheter ikke håndterer superscript veldig bra, blir også eksponensielle uttrykk ofte skrevet slik: 2 ^ 3. Oppsettet - det oppoverpekende symbolet - forteller deg at det som følger er eksponenten.

I matematikk er "røtter" litt som eksponenter i omvendt retning. Ta for eksempel "2 til 4. kraft", forkortet 2 ^ 4. Det er lik 2 x 2 x 2 x 2 eller 16. Siden 2 multiplisert med seg selv fire ganger er lik 16, er "4. rot" av 16 2. Se nå på tallet 729. Det brytes ned til 9 x 9 x 9 - så 9 er den tredje roten til 729. Det bryter også ned til 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 - så 3 er den sjette roten av 729. Den andre roten til et nummer kalles ofte kvadratrot, og den tredje roten er kubikkrot.

Når eksponenten er en brøkdel, leter du etter en rot av basen. Roten tilsvarer nevneren til brøkdelen. Ta for eksempel "125 hevet til 1/3 makt", eller 125 ^ 1/3. Nevneren av brøkdelen er 3, så du leter etter den tredje roten (eller kubaroten) på 125. Fordi 5 x 5 x 5 = 125, er den tredje roten av 125 5. Dermed er 125 ^ 1/3 = 5. Prøv nå 256 ^ 1/4. Du leter etter den fjerde roten av 256. Siden 4 x 4 x 4 x 4 = 256, er svaret 4.

De fraksjonelle eksponenter diskutert til dette punktet - 1/3 og 1/4 - har hver teller 1. Hvis telleren er noe annet enn 1, instruerer eksponenten deg faktisk å utføre to operasjoner: finne en rot og heve til en kraft. Ta for eksempel 8 ^ 2/3. Nevneren "3" forteller deg at du leter etter en terningrot; telleren "2" forteller deg at du vil heve til 2. makt. Det spiller ingen rolle hvilken operasjon du utfører først. Du får det samme resultatet uansett. Så du kan begynne med å ta den tredje roten av 8, som er 2, og deretter heve den til den andre kraften, noe som vil gi deg 4. Eller du kan starte med å heve 8 til den andre kraften, som tilsvarer 64, og deretter ta den tredje roten til tallet, som er 4. Samme resultat.

Faktisk gjelder regelen om "teller som makt, nevner som rot" for alle eksponenter - til og med hele talleksponenter og brøkdeleksponenter med teller 1. For eksempel er hele tallet 2 ekvivalent med brøkdelen 2/1. Så det eksponensielle uttrykket 9 ^ 2 er "virkelig" 9 ^ 2/1. Å heve 9 til 2. makt gir deg 81. Nå må du få "1. rot" på 81. Men den første roten til et hvilket som helst tall er selve tallet, så svaret forblir 81. Se nå på uttrykket 9 ^ 1/2. Du kan starte med å heve 9 til "1. makt." Men ethvert tall som blir hevet til første kraft er selve tallet. Så alt du trenger å gjøre er å få kvadratroten på 9, som er 3. Regelen gjelder fortsatt, men i disse situasjonene kan du hoppe over et trinn.