Radikale fraksjoner er ikke små opprørske fraksjoner som holder seg sent ute, drikker og røyker. I stedet er de fraksjoner som inkluderer radikaler - vanligvis firkantede røtter når du først blir introdusert for konsept, men senere kan du også møte terningrøtter, fjerde røtter og lignende, som alle kalles radikale også. Avhengig av nøyaktig hva læreren din ber deg om, er det to måter å forenkle radikale brøker på: Enten faktorene radikale ut helt forenkle det, eller "rasjonaliser" brøkdelen, noe som betyr at du eliminerer radikalen fra nevneren, men likevel kan ha en radikal i teller.
Avbryte radikale uttrykk fra en brøkdel
Tenk på ditt første alternativ, og ta med radikalen ut av brøkdelen. Det er faktisk to måter å gjøre dette på. Hvis den samme radikalen eksisterer i alle vilkår i både toppen og bunnen av brøken, kan du ganske enkelt faktorisere og avbryte det radikale uttrykket. For eksempel hvis du har:
(2√3) / (3√3_)_
Du kan faktorisere begge radikalene, fordi de er tilstede i hver periode i teller og nevner. Det etterlater deg med:
√3/√3 × 2/3
Og fordi en hvilken som helst brøkdel med nøyaktig samme ikke-nullverdier i teller og nevner er lik en, kan du omskrive dette som:
1 × 2/3
Eller bare 2/3.
Forenkling av det radikale uttrykket
Noen ganger vil du bli møtt med et radikalt uttrykk som ikke har et kort svar, som √3 fra forrige eksempel. I så fall vil du vanligvis bevare det radikale uttrykket akkurat som det er, ved å bruke grunnleggende operasjoner som factoring eller kansellering for å enten fjerne det eller isolere det. Men noen ganger er det et åpenbart svar. Tenk på følgende brøkdel:
(√4)/(√9)
I dette tilfellet, hvis du kjenner kvadratrøttene dine, kan du se at begge radikalene faktisk representerer kjente heltall. Kvadratroten på 4 er 2, og kvadratroten på 9 er 3. Så hvis du ser kjente kvadratrøtter, kan du bare skrive om brøken med dem i deres forenklede, heltallige form. I dette tilfellet vil du ha:
2/3
Dette fungerer også med terningrøtter og andre radikaler. For eksempel er terningroten på 8 2 og terningen roten på 125 er 5. Så hvis du møtte:
(3√8) / (3√125)
Du vil med litt øvelse kunne se med en gang at det forenkler det mye enklere og lettere å håndtere:
2/5
Rasjonalisering av nevneren
Ofte vil lærere la deg beholde radikale uttrykk i telleren for brøken din; men akkurat som tallet null, forårsaker radikaler problemer når de dukker opp i nevneren eller bunnen av brøkdelen. Så, den siste måten du kan bli bedt om å forenkle radikale brøker, er en operasjon som kalles rasjonalisering av dem, noe som bare betyr å få radikalen ut av nevneren. Ofte betyr det at det radikale uttrykket dukker opp i telleren i stedet.
Tenk på brøkdelen
4/_√_5
Du kan ikke enkelt forenkle _√_5 til et heltall, og selv om du faktoriserer det, sitter du fortsatt med en brøkdel som har en radikal i nevneren, som følger:
1/_√_5 × 4/1
Så ingen av metodene som allerede er diskutert, vil fungere. Men hvis du husker egenskapene til brøk, er en brøk med et ikke-null tall på både topp og bunn lik 1. Så du kan skrive:
√_5/√_5 = 1
Og fordi du kan multiplisere 1 ganger noe annet uten å endre verdien på den andre tingen, kan du også skrive følgende uten å endre verdien av brøkdelen:
√_5/√5 × 4/√_5
Når du multipliserer over, skjer det noe spesielt. Telleren blir 4_√_5, noe som er akseptabelt fordi målet ditt ganske enkelt var å få radikalen ut av nevneren. Hvis det dukker opp i telleren, kan du takle det.
I mellomtiden blir nevneren √_5 × √5 eller (√_5)2. Og fordi en kvadratrot og en firkant avbryter hverandre, forenkler det seg til bare 5. Så din brøkdel er nå:
4_√_5 / 5, som betraktes som en rasjonell brøk fordi det ikke er noe radikal i nevneren.